( 369 ) 

 )) Voici maintenant deux théorèmes relatifs aux séries de la forme 



> ^^ qui nous sont nécessaires : 



1 



» Théorème I. — Lorsque la série \ -~^, oii ^ ]> o, esl convergente, on a 



I 



iim-^-^ ^— ^— ^_' _ o (n = oo). 



» Théorème II. — Lorsque tes deux séries 



sont convergentes pour s = a ^ o et que les séries 



1 1 



sont convergentes pour s =^ a -h p, alors la série obtenue en multipliant les 

 deux premières 



1 



v('0=^M^^)y-(r;)' 



<Y représentant tous les diviseurs de n, est convergente pour s ^ a -h ^rjS. 



» En remplaçant, dans les séries (A) et (B), chaque terme par sa valeur 

 absolue, les nouvelles séries convergent pour s "^ t . En multipliant donc 

 les séries (A) et (B), la série obtenue sera convergente pour J > f, d'après 

 le théorème II. 



» Or on obtient ainsi 



V i-g(") 



où 



g:(i) = 2C, 



et, lorsque p est premier, g{p'') = log/>, tandis que g{n) = o lorsque n 

 n'est pas de la forme p*. On en conclut, d'après le théorème I, 



1- " — S'il] — ^(2) — ... — si") , ^ is 



iim ^-^ ^-^, ^^=0 (« = co, ^>|); 



ou 



