» Le module k des tondions elliptiques auxquelles on est conduit, 

 étant extrêmement petit, on peut, comme l'a fait M. Mathieu dans le Mé- 

 moire cité plus haut, intégrer à l'aide des fonctions circulaires, en rempla- 

 çant siuOfl par 6,,; en posant 



.^v/^ 



A){C-B1 



> 



AB 

 on trouve am^i 



5^„=a-^cos^>. + fi=sin^X, 



rfX = V — dt, 



. ., a" cns^ ). 



_ rll 2CH — G- dl . 



"yfo—— - ^' ^.^cosn + p-sinn' 



en désignant par /t une ci>ustante arbitraire, on en conclut 



/A(C— B) [n G, , '1 



(5) f«"g?o-\/B|c=^'^"«U~'c(' + ^')J' 



r G , i /A(G — B) .f G, ,,|) 



(6) 4'o----cV^ + /'i + '^'''='«"gîVBlc^'°l'^ c(' + ^')Jr 



on a ajouté à <|>„ la constante , ce qui revient à changer une fois pour 



toutes la position du point fixe Xj ; enfin, dans l'expression de tang(j5„, on 

 a pris le radical avec le signe -h, parce que la formule 



f/yo __ _ A(C — A;//- + B(C — B)y- 



iir ^ Av+B-7'- '' 



que l'on démontre aisément, prouve que 9^ décroît sans cesse. 

 » On tire de (5) et (6) cette relation iniportante 



(7) '^o=?o-^{t + f^)-l- 



» On a finalement lea formules suivantes pour exprimer y, 0, 1^ en fonc- 



