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 qu'on trouve eu considéraut deux nombres impairs m et Ji premiers entre 



eux, faisant p — 5 q = — — 5 divisant par n les multiples 



I /«, 2 m, 3w, . . . , (jin, 



et par m les multiples 



I ?i, 2H, 3/2, . . . , pn. 



Dans ces divisions, on prend les restes les plus petits en valeur absolue, et 

 enfin on désigne par m, le nombre des restes négatifs de la première suite, 

 et par n, le nombre des restes négatifs de la deuxième; q est un nombre 

 entier qu'on n'a pas besoin d'indiquer plus spécialement. 



» Or il suit de cette formule que la somme m, -+- n, ne pourra être un 

 nombre impair que dans le seul cas où les nombres p et q seront impairs 

 tous les deux, et, par conséquent, dans le seul cas où les nombres m et 11 

 seront tous deux de la forme ^x -{- 3 {x entier). Il est d'ailleurs évident 

 que cette seule supposition, pour la somme h«, -f- «,, est suffisante pour 

 conduire à la loi de réciprocité entre deux nombres impairs, même com- 

 posés, premiers entre eux. 



» On voit ainsi que la démonstration de M. Zeller, étendue à des nom- 

 bres non premiers, est comprise dans la précédente. Je dois ajouter que, 

 pour deux nombres premiers, la démonstration rapportée ci-dessus avait 

 été donnée dans mon Mémoire de novembre 1 852. La démonstration de 

 M. Zeller a été publiée par M. Kronecker dans la séance de l'Académie de 

 Berlin, 16 décembre 1872 ( ' ), et a été ap[daudie. 



» La généralisation, que j'ai mentionnée, d'iu) lemme de Gauss a été 

 attribuée à M. Schering, de Gottingue, qui, en effet, doit y être parvenu 

 par lui-même, et l'a communiquée à M. Kummer en la faisant présenter à 

 l'Académie de Berlin le 22 juin 1876 (^). Mais, dans la même séance, à la 

 suite de la Note de M. Schering, on insérait un Mémoire de M. Kronecker, 

 qui affirmait avoir exposé la même généralisation dans ses Leçons de l'hiver 

 1869-70, et donnait tous les développements nécessaires, qui composent 

 un travail extrêmement soigné et d'un grand prix ('). On sait, de plus, que 

 ses Leçons de l'hiver 1875-76 ont été rédigées et mises en ordre par l'un 

 de ses auditeurs, M. Heltner. Celte rédaction contient tous les développe- 



[') Afo/2flfî6enc/(fi?, p. 846-847- 

 ( = ) Ibid., 1876, p. 33o-33i. 

 (\, Ibid., 1876, p. 33 1-341. 



