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avec certitude, que cette méthode était basée, non i)oint sur des calculs longs et compliqués, 

 mais sur le développement d'une idée fondamentale et simple, qu'on peut avec i-aisoa 

 espérer de retrouver par un travail persévérant et approfondi. Dans le cas pourtant où le 

 problème proposé ne parviendrait pas à être résolu pour l'époque du concours, on pour- 

 rait décerner le prix pour un travail dans lequel quelque autre problème de la Mécanique 

 serait traité de la manière indiquée et résolu complètement. 



» 2. M. Fuchsa démontré dans [)lusieurs de ses Mémoires (•) qu'il existe des fonctions 

 uniformes de deux variables, qui se rattachent par le mode de leur génération aux fonc- 

 tions ultra-elliptiques, mais sont plus générales que ces dernières, et qui pourraient proba- 

 blement acquérir une grande importance pour l'analyse, si leur théorie était développée 

 davantage. 



u On propose d'obtenir, sous forme explicite, les fonctions dont l'existence a été prouvée 

 par M. Fuchs, dans un cas suffisamment général, de manière qu'on puisse reconnaître et 

 étudier leurs propriétés les plus essentielles. 



« 3. L'étude des fonctions définies par une équation différentielle suffisamment générale 

 du premier ordre dont le premier nombre est un polynôme entier et rationnel par rapport 

 à la variable, la fonction et sa première dérivée. 



). MM. Briot et Bouquet ont ouvert la voie à une telle étude dans leur Mémoire sur ce sujet 

 [Journal de l'École Polytechnique, XXXVP cahier, p. iSS-agS). Les géomètres qui con- 

 naissent les résultats découverts par ces auteurs savent aussi que leur travail est loin d'avoir 

 épuisé le sujet difficile et important qu'ils ont abordé les premiers. Il paraît probable que 

 de nouvelles recherches, entreprises dans la même direction, pourront conduire à des pro- 

 positions d'un haut intérêt pour l'analyse. 



» h. On sait quelle lumière a été portée sur la théorie générale des équations algébri- 

 ques, par l'étude de ces équations spéciales auxquelles conduit la division du cercle en par- 

 ties égales, et la division par un nombre entier de l'argument des fonctions elliptiques. La 

 transcendante sL remarquable qu'on obtient, en exprimant le module de la théorie des 

 fonctions elliptiques par le quotient des périodes, mène semblablement au.x équations mo- 

 dulaires qui ont été l'origine de notions entièrement nouvelles, et de résultats d'une 

 grande importance comme la résolution de l'équation du cinquième degré. Mais cette 



( ' ) Les Mémoires se trouvent : 



1° Nachrichten von der K- GeseUsehaft der Wissenscliaften zu Gottingcn, février 

 i88o, p. 170. 



2" Journal fur die reine und angewandte Mathemalih, Bd, 89, p. 25i. (Une traduc- 

 tion de ce Mémoire se trouve dans le Bulletin de M. Darboux, 2" série, t, IV.) 



3° Nachrichten von der K. Gesellschnft der Wissenscliaften zu Gottingcn, juin 1880, 

 p. /I45. [Traduit en français, Bulletin de M. Darboux, 2*^ série, t. IV.) 



4° Journal fur die reine und angavandte Mathematik, Bd. 90, p. 71. (Aussi dans le 

 Bulletin de 1\I. Darboux, 2'' série, t. IV. 1 



5" Abhandlungen der K. GeseUsehaft der Wissenschaften zu Gôttingen, 1881, [Bulletin 

 de M. Darboux, t. V.) 



G" Sitzungsherichtc der K. Ahademie der ^yisscnscha/tcn zu Berlin, i8S3, I, p. 507. 



n" Le Mémoire de M. Fuchs, inséré dans le Journal de Borchardt, t. 76, p. 177, a 

 aussi quelques rapports avec les Mémoires cités. 



