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GÉOMÉTRIE. — Tableau des principaux éléments des dix figures polyédriques 

 régulières. Note de M. Em. Barbier. 



« 1. En écrivant cette très simple Note, je n'ai pas oublié que, selon la 

 pensée du très pur écrivain à qui nous devons les polyèdres étoiles, les 

 théories qui intéressent le plus n'embrassent ni trop, ni trop peu d'objets. 



)) 2. Dix figures polyédriques méritent le nom de régulières, parce 

 qu'elles peuvent se superposer à une figure égale d'un nombre de ma- 

 nières double du nombre des arêtes de la figure. 



» Autant il y a de côtés dans les F polygones réguliers qui forment le po- 

 lyèdre régulier en se rapprochant (avec ou sans entrecroisement des 

 faces), autant ce polyèdre a de superpositions distinctes possibles avec une 

 figure égale. 



» 3. Cinq polyèdres réguliers (connus des anciens : le tétraèdre; le 

 cube et l'octaèdre; le dodécaèdre et l'icosaèdre) nous offrent les figures 

 régulières convexes à 6, 12 et 3o arêtes. 



» Cinq polyèdres étoiles : l'octaèdreo complet (formé de deux tétraèdres 

 réguliers entrecroisés); le dédocaèdrea (pyramide) et le dodécaèdrCj, le 

 dodécaèdre,, (complet) et l'icosaèdre^ étoile (quia sept enceintes; une hui- 

 tième, déjà signalée à la p. 1688 du t. XCVI des Comptes rendus, fait passer 

 de l'icosaèdre de Poinsot à l'icosaèdre régulier complété par le prolonge- 

 ment de ses faces) ont 12 ou 3o arêtes et méritent le nom de figures régu- 

 lières. 



» 4. Le nombre des enceintes polyédriques fermées que les faces d'un 

 polyèdre régulier forment autour du centre donne l'espèce E' du polyèdre 

 (selon Poinsot). 



)> 5. L'espèce E du polyèdre (selon Cauchy ) ne diffère de E' que lorsque 

 les faces du polyèdre régulier sont étoilées. Cauciiy compte double, systé- 

 matiquement, la surface du pentagone convexe régulier que l'on voit au 

 milieu du pentagone régulier étoile. 



» 6. F est le nombre des faces; n le nombre des côtés d'une face; 

 si ç ^ I la face est convexe; elle est de seconde espèce ou étoilée si ç= 2. 



» 7. La nombre des sommets du polyèdre est marqué S; en un sommet 

 aboutissent m fiices. L'angle polyédrique à m faces est convexe si (7 = i; il 

 est étoile si 7 = 2. 



» 8. A marque le nombre des arêtes du polyèdre. — = A = — • 



