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vert, sec el ensilé ». (Extrait de V Annuaire de la Société des Acjricukeurs de 

 France, i885.) (Présenté par M. Fremy.) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les jorines quadratiques dans la théorie 

 des équations différentielles linéaires. Note de M. Halphen. 



« Si, entre diverses solutions d'une équation ditférentielle linéaire, so- 

 lutions d'ailleurs inconnues, il existe une relation connue, on peut, eu 

 général, intégrer complètement cette équation ditférentielle. C'est ce que 

 j'ai montré dans un récent Mémoire ('). Mais j'ai signalé, en méuie teuips, 

 une exception très remarquable, que voici. On connaît, en fonction de la 

 variable indépendante, r expression d'une forme quadratique, à coefficients 

 constants, où. tes indéterminées sont remplacées par les solutions inconimes,- pour 

 une relation de cette nature, la théorie générale tombe en défaut. Une 

 théorie spéciale est à faire sur l'usage des formes quadratiques pour l'inté- 

 gration des équations différentielles linéaires. Je n'ai réussi à l'achever que 

 pour les équations différentielles jusqu'au sixième ordre. 



» L'ordre de l'équation étant désigné par «, soient y,, Ja» • • •> J^n des 

 solutions, distinctes entre elles, et xij'fJ^i •••>/«) ^^ abrévialivement 

 ^(^) une forme quadratique, à coefficients constants, dont on connaît 

 l'expression <p{x) en fonction de la variable indépendante a:. Prenons, au 

 lieu de y, une nouvelle inconnue z, eu posant 



z = rtjr + bj', 



et réservant le choix de a et b, qui dépendront de x. A chaque solution 

 j,,j2, ... de l'équation proposée correspond une solution z,, iio, ... de la 

 transformée. Mettant ces dernières dans la forme y, on aura 



Le coefficient de a^ est donné : c'est fix). Celui de ab est égal à f'{x). 

 Quant au dernier, on peut, à l'aide de l'équation différentielle, l'exprimer 

 linéairement par (p{a;) et ses dérivées successives; c'est une fonction '\i{x) 



('] Siii- un prot/lèriie coucciriiint les cquations différentielles linéaires [Journal de Ma- 

 lliématiijues, 3'= série, t. I, p. ii) et Sur les multiplicateurs des cquations différentielles 

 linéaires [Couiptes tendus, t. XCVII, p. i /JoS et i45i; t. XGVIII, p. i34). 



