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que l'on peut effeclivenieiU calculer. Si donc on détermine le rapport a '.h 

 par l'équation 



a- o{x) + ah f'{jc) -+- b- 'i(jr) = o, 



la forme "/^{z) «era nulle, et /'on esl ainsi conduit à considérer uniquemenl les 

 équations di/férenlielles linéaires dont les solutions vérifient une relation quadra- 

 tique honioc/ène à coefficients constants. 



» Ces équations spéciales ont déjà été étudiées pour le troisième et le 

 quatrième ordre. Grâce aux résultats qui les concernent, on peut conclure 

 ainsi : Etant connue, en fonction de la variable indépendante, l' expression d'une 

 forme quadrali(jue comjiosée avec les solutions d'une équation différentielle 

 linéaire, cette équation se ramène, si elle est du troisième ordre, à une équation 

 Iméaire du second, et, s'. elle est du quatrième ordre, à deux équations linéaires du 

 second ordre. 



» Les résultats vraiment nouveaux, dont je dois parler, concernent les 

 équations <lu cinquième et du sixième ordre : si l'équation est du cin(piième 

 ordre, elle se ramène à une é(piation linéaire du quatrième, et, si elle est du 

 sixième ordre, à deux équations linéaires, l'une du second, l'autre du quatrième 

 ordre. C'est une idée géométrique qui m'a servi de guide; carie problème, qui 

 consiste à chercher rabai>sement de l'ordre pour ces équations différen- 

 lielles, coïncide avec celui de la reclierilie d'une ligne asyniptotique sur une 

 surface gaudie. Avant de montrer ces proiiriétés singulières, il me faut 

 exposer quelques faits concernant les équations d'ordre quelconque. 



» Soit, connue précédemment, /(_/) une forme quadratique, composée 

 avec des solutions d'une équation linéaire d'ordre n. Il peut arriver que, 

 non seidement x(^), mais encore y^ij''), yiij")' ■ • ■ soient égales à zéro. 

 Pi'enoiis, parmi ces formes, la première, /(j'*'^'), qui ne soit pas nulle, et 

 disons alors que l'équation différentielle est de rang r, relativement à la 

 forme y^. Ce rang r a pour maximum le plus grand entier conteiui dans 

 ~[n — i); il existe elfectivement, pour chaque ordre, des équations de 

 chaque rang jusqu'au maxiimim. 



)) Le rang se caractérise aussi, d'une manière toute différente, |)ar la 

 considération de l'équation adjointe. Soient G(j-) et T{-ri) les premiers 

 membres de l'équation différentielle et de son adjointe, en sorte que,^ et 

 ïj restant indéterminées, la combinaison 



est la dérivée exacte d'une forme B(j-, v;) bilinéaire, par rapport k j^, 



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