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y' , . . . , jC'-*' d'une part, et vj, vj', . . . , ïj'""'' d'autre part. Cette forme est 

 d'ailleurs toute connue, et ses coefficients s'expriment très simplement par 

 ceux de G(^). 



» A chaque forme quadratique j((j^) correspond, pour r(ïî), un mulli- 

 plicateur r,(ïj), qui est aussi une fonction linéaire et homogène de v^ et de 

 ses dérivées, mais d'ordre au plus égal à [n — i), et dont on peut calculer 

 facilement les coefficients quand on connaît l'expression de x(^) en fonc- 

 tion de X. Le caractère distinctil du multiplicateur peut être précisé de 

 deux manières, au fond, équivalentes : i° si l'on considère vj comme une 

 indéterminée, le produit r(vî)r,(ï3) est une dérivée exacte, c'est-à-dire la 

 dérivée d'une fonction quadratique en vj, vj', . . . , dont les coefficients sont 

 des fonctions de jt, toutes connues; 2" si l'on effectue la substitution 

 / = r, (y; ), l'équation T (vj) = o a pour transformée 0(7)^ o. Cette deuxième 

 manière d'envisager les niulti[)licateurs donne une ouverture sur une ques- 

 tion nouvelle et fort importante, la recheiche des uibslitulions qui transfonnenl 

 une éqwilion linéaire en elle-même : mais je ne peux m'y arrêter, et je reviens 

 à la définition du rang par le moyen du multiplicateur. Elle résulte de la 

 proposition suivante : 



» Le rancj de l'équation G(^) = o, relativement à la forme /(j), étaiil 

 désigné par r, l'ordre du multiplicateur correspondant T ^[■e]) est égal à 

 (« — I — ar). 



» On voit par là que, pour les équations de rang maximum et d'ordre 

 pair, le multiplicateur est d'ordre i et prend la forme Ay3' + Bvj, tandis que, 

 pour les équations de rang maximum et d'ordre impair, il est de la forme 

 la plus simple, Ayj. 



» Le but de la théorie générale actuelle consiste dans la réduction de 

 toute équation de rang 1 à une autre, de rang maximiun; après quoi, on 

 aura à chercher l'abaissement de l'ordre pour les équations de rang maxi- 

 mum. Dans une seconde Communication, si l'Académie le permet, j'ex- 

 poserai la théorie de la réduction du rang. Je montrerai ensuite que les 

 équalions du cinquième et du sixième ordre, de rang maximum, sont des 

 transformées d'équations linéaires du quatrièuie ordre. » 



