( 734 ) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales de différentielles totales de 

 seconde espèce. Note de M. E. Picard, présentée par M. Hermite. 



« J'ai commencé, dans un Mémoire récent ('), l'étude des intégrales 

 de différentielles totales de la forme 



(i) fVrU-^Qr/r, 



où P et Q sont des fonctions rationnelles de x, j et z, celles-ci étant liées 

 par une relation 



oùy est un polynôme, et j'ai considéré seulement le cas où l'intégrale est 

 de première espèce, c'est-à-dire reste finie pour toute valeur des deux va- 

 riables indépendantes jc et y. Je me suis occupé depuis d'un cas plus gé- 

 néral, en considérant les intégrales que l'on peut appeler de seconde 

 espèce, et dont voici la définition précise. Une intégrale telle que (i) sera 

 dite de seconde espèce si elle satisfait aux conditions suivantes : soit 

 cc = a, y ^^b un système quelconque de valeurs de j? et/; on pose 



\[t) et p.(i) désignant deux fonctions holomorphes quelconques de t dans 

 le voisinage de < = o, et l'on substitue ces valeurs dans l'intégrale; celle-ci 

 devient une fonction de t qui, dans le voisinage de t =^ o, devra avoir le 

 caractère d'une fonction algébrique. Il est évident que les intégrales de 

 première espèce satisfont à ces conditions. 



» J'ai établi, dans le Mémoire cité, que la surface la plus générale d'un 

 degré donné ne possédait pas d'intégrales de première espèce. Une conclu- 

 sion analogue subsiste pour les intégrales de seconde espèce : je veux dire 

 que, pour la surface la plus générale d'un degré donné, toutes les intégrales 

 de seconde espèce se réduisent à des fonctions rationnelles de x, y et z> 

 Le mode de démonstration employé pour les intégrales de première espèce 

 est absolument inapplicable pour le cas plus général que je considère 

 maintenant. Je voudrais indiquer ici la marche que j'ai suivie, d'autant 

 plus qu'elle me sera très utile, comme je le montrerai plus tard, pour 

 l'étude des cas où il y a d'autres intégrales que ces intégrales ration- 

 nelles. 



Journal de Muthémaliques, 4° série, t. I'"'. 



