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 » Je me borne ici à un cas particulier, le cas générai exigeant, quoique 

 la marche soit la même, des développements un peu trop longs; c'est celui 

 où la surface aurait son équation de la forme 



/étant un polynôme que je suppose le plus général de degré m, et soit une 

 intégrale de seconde espèce, de la forme (i), attachée à cette surface. 



» Donnons à y une valeur constante arbitraire, et considérons l'inté- 

 grale hyperelliptique de seconde espèce 



(2) fVdx. 



« On établit d'abord que les périodes de celte intégrale sont des con- 

 stantes, c'est-à-dire qu'elles ne dépendent pas de la valeur arbitraire donnée 

 à j; c'est sur cette remarque que va être fondée la démonstration. 



» Pour une valeur arbitraire donnée à y, Vé(\\\!x\.\QnJ\x,j) ^^ o aura 

 m racines distinctes, et si l'on considère x comme fonction dey, deux va- 

 leurs de jc seulement deviendront égales, pour chaque valeur singulière de 

 y. Soient, pour une valeur arbitraire y^, non singulière, dey 



x^ , ;t'2, . . ., X,„ 



les 772 racines de l'équation. On peut les supposer rangées dans un ordre 

 tel que, _y allant de j*o à une certaine position singulière j-'^ par un chemin 

 convenable, x^ et x., deviennent égales, puis ensuite^ allant de y^ à une 

 autre position singulière x.^ et x^ deviendront égales, et ainsi de suite. Ceci 

 posé, il est possible de tracer dans le plan de la variable x un contour 

 simple C ne rencontrant aucun des chemins décrits par les racines J?, 

 quand ^ varie, comme il a été indiqué, dejTo à y'^ ; de plus ce contour com- 

 prend seulement à son intérieur les deux racines ol\ et x.^ et par suite la 

 racine tlouble x\, qui est la limite de x, et x^. 



M Revenons maintenant à l'intégrale (2), où nous ferons d'abord y ^j-^ ; 

 au contour C va correspondre luie période de cette intégrale : je dis que 

 cette période sera nulle. En effet, faisons varier^ d'une manière continue de 

 To^j'o- ^^ période ne change pas; or on voit de suite qu'elle est nulle pour 

 y — j'o, puisque le polynômey'(x,/'„) admet la racine double j:', et quel'in- 

 îégrale (2) est de seconde espèce. L'intégrale le long de C est donc nulle, 

 et, comme toutes les périodes de l'intégrale peuvent être obtenues en em- 

 ployant des contours analogues à C, on en conclut que toutes les périodes 

 de l'intégrale ( 2 ) sont nulles . Il est aisé d'en conclure qu'il en est de même 



