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 faisceau des tangentes en A à ces courbes, ta courbe C''(A% 8B), c est-à-dire la 

 courbe du quatrième ordre, qui passe trois /ois par A et une fois par chacun des 

 huit nulres points de base B. Elle est touchée en A par les trois cubiques du fais- 

 ceau, dont A est point d'inflexion. 



» Lemme II. — Le lieu T_, des points A_,, dont A est le premier point tan- 

 gentiel, est, comme le lieu des points d'intersection des éléments correspondants 

 de deux faisceaux projectifs, le faisceau des cubiques et le faisceau des coniques 

 polaires du point A par rapport à ces courbes, une courbe C'(A% 8B). Elle est 

 touchée en A par les tangentes de T, en ce point (' ). 



» 2. Si a„, b,„ p^ représentent l'ordre de multiplicité du point A et des 

 huit points E sur T„ et l'ordre de ce lieu, nous trouvons les équations 



j 3/7„ = rt„ + 8/;„ + i, 

 (0 \ 5pn = rt„ -f- I o b„ + b„,_ , , 



ïï(/'« - i)(A< - 2) = ',a„{a„ - i) + lih„{b„-i), 



dont les deux premières s'obtiennent par la considération des points d'in- 

 tersection deT„ avec une quelconque des cubiques et avecT_,; la troisième 

 résulte de l'observation que, la courbe T„ étant unicursale, ses points cor- 

 respondent un à un aux courbes du faisceau. Nous les remplaçons par 



I ^«+1 =— ■^■b„-i- 'ip„ -h I, 



Ces équations déterminent a,,^^,, i„^,, ^„^, en fonction de Z»„ et /j„. Et comme 

 le premier lemme donne les valeurs de b, et p,, elles mènent successive- 

 ment à rto, b.,, po, H a^, bj, p^, . . .. Il est remarquable qu'en passant de n 

 ii n -h i elles ne donnent qu'un seid système de valeurs entières des incon- 

 nues, quoique la troisième équation soit du second ordre. 



» Le Tableau des valeurs de fl„, b„, p„ pour « = i, ?., 3, . . ., qu'on 

 obtient au moyen de ces équations récurrentes, mène aux formules 



/ *«=ï(4v„ + 5)( v„ - i), 



(3) rt^^=i(2V„-5)(2V„+ l), 



(') La courbe C'' passant par les douze points doubles du faisceau, ces poinis forment 

 l'intersection complétante de deux courbes C-^(A3, B, 7P) et C''(A,C5, 7P). En général, 

 les 3[n — i]- points doubles d'un faisceau de courbes C" sont les poinis d'intersection 

 complétants de deux courbes C-""' [A", B, [11- — a)P] et C2"-i[A, B«, {n- — 2)?]. 



