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 où v„ représente (— 2)". Nous les démonirerons par le riiisonnement ordi- 

 naire en passant de nkn-\-i. D'abord la substitution des valeurs de b^ et 

 p,j dans la ])remière des équations (2) donne la première équation (3), ou n 

 est remplacé par /z-4-i. Ensuite, les valeurs de rt„.^, et Pn^^-, fournies par 

 les deux antres équations (2), se laissent transformer au moyen de cette 

 relation nouvelle, qui mène à l'équation 



(i^''^,M^-9)^-±K8v„-M-+-'). 

 de manière que l'on trouve 



Pn^-^ =^ 3^,_^, -4- tt[9 — (8v„^., -!- l)J- 



» Enfin, ces équations prouvent qu'on n'obtient qu'un seul système de 

 valeurs entières pourrt,,.^., et /?„+,, celles qui résultent des signes inférieurs, 

 c'est-à-dire les valeurs données par les deux dernières équations (3), où n 

 est remplacé par n~{- i. Si donc les équations (3) représentent la solution 

 unique des équations (2), quand le paramètre qui y entre a la valeur ji, 

 elles représenteront encore la solution unique du problème pour la valeur 

 Az H- 1 de ce paramètre. 



» Mais, d'après le lemme I, elles donnent la solution unique du pro- 

 blème pour 7z r^ 1; donc nous avons démontré le théorème suivant : 



» Théorème I. — Le lieu T„ estime courbe unicursale de L'ordre f(4" — •)' 

 qui passe 



i[(„,)-. + 5][(-2)'"'-.]/o/3 

 par A et 



par chacun des points B. Elle ne possède d'autres points multiples que ces neuf 

 points de base, qui la déterminent complètement. El, jjarmi ses tangentes en A, 

 se trouvent les trois tangentes de T, en ce point. 



» L'addition des deux dernières équations (2), où n -i- i est remplacé 

 par Ji, montre que T„ est dctermitié par les neuf points de base. 



» 3. L'ordre de T_„ surpasse celui de T„ de i(4" — i), les neuf points 

 (A, 8B) jouant le même rôle par rapport aux deux courbes, et A étant sur 

 une courbe quelconque du faisceau le «"""* point taiigentiel de 4" points 

 A_„. Donc : 



» Théorîîme il — Le lieu T_„ est une courbe de l'ordre |(4" — i)> 7'" 

 passe autant de J'ois par les points {A, SU) que le lieu T„. Elle louche en A les 

 tangentes à T„ en ce point. 



