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 nous représentons (i — 3A)" par v„,a, de v^,^;. points sur elle. Cela prouve 

 que l'ordre de T*;', surpasse celui de TJ de j(v; ^— i) et est donc représenté 

 par p^ ^_^ l(v^^ ^. — i), les neuf points (A, 8B) jouant le même rôle par 

 rapport aux deux courbes. Comme au n° 2 de la Noie précédente, nous 

 trouvons donc les équations récurrentes 



(A) I 3/)„,A = ««,/,+ 8^>„_A+ I, 



auxquelles on satisfait par les suppositions 



I ^«,A = H4V,...A+ 5)( v„,,-i), 



(5) j rt„,/, = î,(2V„^A-— 5)(2V„,A+l), 

 ( /'«.A = K 1^«,A- 0' 



comme nous allons le démontrer. 



» 2. Pour cela, remarquons que tous les points d'intersection des deux 

 lieux T* et T^"*^' coïncident avec les points (A, SB) : on a donc 



(6) Pi,/<Pi,l. , = '^i,A«),A+l + 86,,A3|,A+f + 3. 



» En introduisant dans (h) les valeurs de rti,^, i, a, /j,_a empruntées 

 à (5), nous trouvons, v, ^ étant égal à i — 3k, 



4A(3/t - 2)p,^A+, =-' {^k- - i)rt,,A^, + 8k{lik - 3)^>,,A^, + 3. 



Cette équation, combinée avec les deux dernières équations (4), où l'on a 

 remplacé 7i par i et A par k-hï, donne deux systèmes de valeurs pour 

 ^(,A+i» ^i,A+M /'i.A+i- Et tandis qu'un de ces systèmes est à rejeter, parce 

 qu'il mène à une valeur de ^2,^+1 pour laquelle 16^2 ^4-1 + 9 n'est pas un 

 carré parfait et pour laquelle, d'après le n° 2, les valeurs de «2,aw-i et ^a.A+i 

 sont toutes les deux incommensurables, l'autre système est déduit des deux 

 dernières équations (5) en remplaçiuit n par i et k par ^- + 1. Donc, les 

 équations (5), où l'on a remplacé k par A 4- i, donnent la solution unique 

 pour « = I, mais dans ce cas elles le font pour ?i quelconque. On a donc : 

 » Théorème V. — Le lieu T,^ est une courbe unicursale de l'ordre 

 f [(i - 3A-)=«- i], qui /jasse i[2(i - 3A-)"- 5] [2(1 — 3A)«+ l'jfois par A 

 et ^[4(i — 3A-)"+ 5] [(i — 3A)"— i] Jois par chaque point B. Elle «e pos- 

 sède d'autres points multiples que les neuf points de base, qui la déterminent 

 complètement. 



