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» Théorème VI. — Le lieu T^„ est une courbe de l'ordre |[(i — 3k)'-'' — i], 

 qui passe autant de fois par les points (A, 8B) que T'^. Elle touche en A les tan- 

 gentes à T* en ce point. 



M 3. Nous appelons un point A d'une cubique donnée un point d'in- 

 flexion de puissance k de cette courbe, quand le point A^ sur elle coïn- 

 cide avec A. Cela posé, il est évident que le nombre des courbes du fais- 

 ceau, dont A est point d'inflexion de puissance le ou un facteur de k, est 

 a,k— 3 ou 4(^^— i). Donc, si a, ^, y, ... représentent les facteurs pre- 

 miers de k, y compris k quand k est premier, et que H ( i :, ) symbolise 



le produit (i ;) (i — ^) (i ;) •••j on a pour /■>!, d'après une 



réduction connue : 



» Théorème VII. — Le faisceau contient lik^ïl (i jj courbes, sur les- 

 quelles le point A est point d'inflexion de puissance k. 



» Parce que «„,;. — rt,,^ = ^(v„,;i - v,,a.)(v„,a 4- y,,A — 2), on a : 



» Théorème VIII. — Le Jaisceau contient 



:;■(, - 3/c)[{i - 3 k)"-' - i][{i - 3 k)" - i - 3k] 



courbes, sur lesquelles A est sommet d'un polycjone curviligne à la/bis inscrit et 

 circonscrit, dont le nombre des côtés est k ou un facteur de k. 



» Si s„ et 5„ du n° 5 se rapportent sous la forme j„_a et (7„,/, à des points 

 d'inflexion de puissance k ou un facteur de k, y compris l'unité, on a 



n 



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et, d'après le lieu C'-(A%8B') des points d'inflexion ordinaire, 



On trouve donc ff„,/, et c,, ,, ce qui donne : 



i> Théorème IX. — Le faisceau contient i2k{3k~ 2)(i — SA')-'""" courbes, 

 sur lesquelles A*, et pas encore A*_, , est point d'inflexion ordinaire et 



i2li{k^ - i){3k -~ 2){i - 3k)'^"''^ 



courbes, sur lesquelles A^, et pas encore Af,_,, es' point d'inflexion de j>uis- 

 sance k ou un facteur de k. 



