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 pressions formées avec p, q-, . . ., r et leurs dérivées. Nous nous bornerons 

 aciuellement aux équations du premier ordre, et alors la condition néces- 

 saire et suffisante pour que l'équation proposée soit intégrable sous forme 

 finie consiste en ce que cette équation doit être une transformée de la li- 

 néaire. En termes plus précis, l'équation 



pour être intégrable par quadratures, doit provenir d'une équation li- 

 néaire 



(II) È-M..+ N, 



M = ¥{x,p, p\ . . .,p""), q, q', . . .,qi"\ . . ., r, r', . . ., /'W), N = 0(. . .), 



au moyen d'une substitution de la forme 



U = 9(jr, X, p,p', . . .,p^"'-'\ q,q',..., q^"~'\ . . ., r, /^, . . ., r"-"). 



où les ordres des dérivées de p,q, . . ., rsont d'une itnilé inférieurs à ceux qui 

 figurent dans les équations (I) et (II). Nous indiquons également la ma- 

 nière de mettre toute équation proposée (!) sous la forme (II), lorsqu'une 

 telle réduction est possible, ou bien d'en faire voir l'impossibilité, et par- 

 tant l'impossibilité de l'intégration sous forme finie. En suivant cette voie, 

 nous avons pu étudier complètement le cas particulier le plus important, 

 où l'équation proposée (I) ne contient pas de dérivées des coefficients in- 

 déterminés/3, q, ■ • -, r. Dans ce cas, le nombre de ces coefficients p, q., . . ., r 

 ne doit pas surpasser deux ('), et l'équatioi} (I) doit pouvoir se réduire 

 à la forme 



(III) p|+Q=.R^ + y, 



où P, Q, R sont des expressions données de j: et ^ seuls, ne contenant 

 pas les lettres p et q. L'équation (III ) présente seulement deux cas d'inté- 

 grabilité. Le premier cas pourra avoir lieu lorsque la différentielle 



P f/j + Q clx 



( ' ) Ou, (lu moins, il doit être rcduclible à cleu.i-, ce qui cxiye que les leUres />,'/, . . . , '', 

 quel que soit d'ailleurs leur nomlire, ne lij^iircnt dans l'équation proposée que par le moyen 

 de deux arguments seulement. 



