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xVNALYSE MATHÉMATIQUE. — Solution d'une question d'Analyse indélermiiiée , 

 qui est fondamenlale dans la théorie des transformations Creniona; par 



M. DE JONQUIÈRES. 



« I. La solution, en nombres entiers, des équations 



(A) \ ic(i= ?>{n ~ i) et \ i-Vj= n- — i, 



(=1 i=l 



est un problème qui, limité aux valeurs positives des indéterminées, inté- 

 resse la Géométrie, comme je l'ai rappelé dans noire avant-dernière séance. 

 Les travaux, déjà anciens, de quelques savants auteurs, et les recherches 

 récentes, que les derniers numéros des Comptes rendus ont publiées ('), 

 sont loin d'avoir épuisé la question, ni même abordé tous les cas. Il restait 

 à donner le moyen de trouver, sans tâtonnements et par des calculs faciles, 

 pour un nombre quelconque n, premier ou composé, non plus seulement 

 quelques solutions plus ou moins nombreuses des équations (A), mais la 

 totalité de celles que ce nombre comporte, ainsi que M. Cremona, dans le 

 Mémoire que j'ai cité, l'a fait pour les valeurs de 2 à lo. 



» Les résultats obtenus par ce savant géomètre entre les limites préci- 

 tées semblent, au premier abord, n'avoir entre eux que des liens inextri- 

 cables, lorsqu'on veut passer d'une valeur de u à une autre. Mais, en étu- 

 diant ce sujet, j'ai été assez heureux pour apercevoir qu'ils ont, au 

 contraire, des dépendances mutuelles fort simples, bien qu'assez profon- 

 dément cachées. La présente Note a pour but de les faire connaître pour 

 une valeur quelconque de n. 



» J'énoncerai, d'ailleurs, dans toute sa généralité, une loi qui exprime ces 

 dépendances mutuelles, en écartant la première des restrictions introduites 

 par la Géométrie, qui consiste à n'admettre, pour les indéterminées «,, que 

 des valeurs positives. L'énoncé sera, de la sorte, plus simple, et l'on saura 

 ensuite lesquelles des solutions trouvées il faudra écarter lorsque la restric- 

 tion dont il s'agit et d'autres encore devront être admises. 



» II. Soit T„EEEE(a|, «o^ag, ...,a,-, .. ., a„_,) une des solutions des équa- 

 tions (A), où quelques-uns des nombres a peuvent être d'ailleurs nuls. 

 Cette solution est supposée connue et donnée. 



(') Voir Comptes reiulus, t. CI, p. 'J20 tt 808. 



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