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» La méthode que je A'ais indiquer consiste à déduire de T„ toutes les 

 solutions T„+,, d'ordre « H- i, auxquelles celle-là peut donner lieu. Comme 

 cette méthode est réciproque, ou réversible, on en conclut que, si l'on prend 

 successivement pour point de départ toutes les solutions d'ordre //, suppo- 

 sées connues, ou obtiendra par le même procédé toutes celles d'ordre n ■+-!, 

 et, inversement, toutes celles de T„ se déduiraient, au besoin, de toutes celles 

 de T„Hi Or, on connaît a priori celle, unique, relative 0.71 — 2, qui est 

 T„^(a, = 3). On s'élèvera donc ainsi, de proche en proche, jusqu'à tel 

 nombre qu'on voudra en partant de cette solution initiale T3, ce qui résout 

 complètement le problème proposé, comme par une sorte d'arbre généa- 

 logique émanant de la souche commune Ta- 



» Pour y parvenir, voici une Règle infaillible, parmi d'autres de même 

 nature que je pourrais aussi donner. On commencera par écrire les n — i 



premiers nombres 



1, 2, 3, 4, . .., /, ..., {n — i), 



et on les réunira par groupes de un, deux, trois, etc., en affectant à chacun 

 d'eux le signe -h ou le signe —, de façon que, dnns chaque groupe, la 

 somme des nombres positifs excède de deux unités celle des nombres affectés 



du signe — . On aura ainsi les groupes 2; (^ i, 3 ); ( 2,/| j ; . . .: ( 1 , 2, 3j ; 



(1,4? 5); . ..; (i, 2, 3, 4y ; • • •> que» pour éviter toute confusion dans le 

 langage, j'appellerai les types de la transformation. Je dirai tout de suite 

 qu'autant on aura pu former de types semblables avec les nombres de i 



à (7^ — 1), c'est-à-dire '— ^5 autant, en général et au plus, on obtiendra 



de solutions T„^_|, en pf-enant pour point de départ toutes les solutions ï„, 

 l'une après l'autre, et épuisant sur chacune la série entière des types obte- 

 nus, comme on vient de le dire. Les solutions ainsi dérivées à l'aide de 

 types différents peuvent, d'ailleurs, n'être pas toutes distinctes, même lorsque 

 le point de départ T„ ne change pas; en d'autres termes, l'emploi de plu- 

 sieurs types différents peut conduire à un seul et même résultat particu- 

 lier T„^,. 



+ — -f- -t- 

 » III. Actuellement, soit (sousune forme générale) i, ■■■, /c, .. , ^, .., /', . ., 



t, ... un type dont on a fait choix. On fera la somme a = r -h /- -l- /- 4- .. 

 des nombres qui sont affectés du signe + dans le type, et la somme 

 o' = k- -{- 1' -h .. des nombres qui y sont affectés du signe — . Posant 



p= -5 on déterminera la valeur d'une inconnue x, qui joue un rôle 



