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 courbes Py, P;.(/, i = i, 2, . . ., p) définissent des relations géométriques 

 nécessaires entre les points fondamentaux et les points-unis de toute Iraiis- 

 fornijtion Cremona d'ordre h ('). . 



» IV. Dans les réseaux projeclifs de courbes isologiques [!'], [P'], il X " •" 



» 1° 24 (m — i) couples de courbes correspondantes, dont chacune est douée 

 d'un point de rebroussement. J'indiquerai par R un quelconque des centres 

 d'isoiogie relatifs à ces couples de courbes. 



)) 2" h(i 7« + 6p — 63) -+- ^ p(p — 7) + 46 couples de courbes correspon- 

 dantes, dont chacune est douée de deux points doubles. jMndiquerai par D un 

 quelconque des centres d'isoiogie relatifs à ces couples de courbes. 



)) 3" 1 8n — 3(5 — 27 couples de faisceaux projeclifs, dont chacun est tel, cpte 

 deux courbes correspondantes quelconques P, P' ont un contact du second ordre 

 [injlexion) [respectivement en deux points i, i'), avec une même droitel, lieu 

 des centres d'isoiogie des courbes correspondantes des deuxjaisceaux. 



)i 4° 4[2'i(« — 6) H-/J -I- i3] couples de faisceaux projectijs, dont chacun 

 est tel que deux courbes correspondantes quelconques P, P' ont un double contact 

 [respectivement en deux couples de points t, , t., ; t\ , t',), avec une même droiteT, 

 lieu des câutres d'isolocjie des courbes correspondantes des deux faisceaux (-). 



» Des propositions précédentes (IV) on déduit les théorèmes suivants : 



» V. Dans toute transformation Cremona d'ordre n, avec p points fonda- 

 mentaux en chacune des figures, il y a : 



» 1° i8n — 3(5 — 27 dioites I, dont chacune est tangente d'inflexion, en 

 deux points i, i', des courbes qui lui correspondent, dans les figures F, F'; 



» 2° 4[2«(« — 6) + |5 -f- i3] droites T, dont chacune est tangente double, 



(') Ainsi, par exemple, dans la tiansfoiiiialion de Jonquières, en désignant par h et //, 

 o,, 0^, . . . , o,(„_,) et o\, o'.-,, . . . , o^,„_|) les points fondamenlaux [n ~ i)-ples et simples 

 des deux figures (de suite qu'au point o,- corres])oiule la droite h' o], et inversement), et 

 par ( II) les « + 2 points-unis, on trouve que les points /i, h' et («) sont sur une même co- 

 nique; qu'il y a, en outre, i[ii — \) courbes d'ordre « ayant un point (// — 2)-ple en /(, 

 et passant simplement par les points o,, o.,, . . ., o,_i, 0,+,, .... "o(„_i), "i et par les 

 points («), et inversement. 



(^) Les j)ioblômes qui consistent à trouver, dans un réseau ayant des points-base mid- 

 tiples, le nombre des courbes douées d'un rebroussement ou de deux points doubles, et le 

 nombre des faisceaux de courbes ayant entre elles un contact du second ordre ou un double 

 contact, ont été résolus, en dernier lieu, par M. Caporali (i88i), sous la restriction que les 

 poinis-base du réseau aient des positions arbitraires. Je ne sache pas qu'on ait, depuis lors, 

 traité ces mêmes problèmes pour les cas (comme celui qui nous occupe) où interviennent 

 des dépendances géon)étri(]ueb entre les points-base du réseau. 



