( «7° 

 Bordons ce déterminant au moyen des éléments de la colonne de rang i et 

 de la ligne de rang y, et représentons par D^ le déterminant ainsi formé; 

 on a 



^ = 



a) 



a. 



a.. 



m -Il 



ni-n 

 vi-n 

 j 



«y 



DJ- = o. 



« Posons maintenant les équations suivantes 

 (i) D7^""' = o, Df"-^^ = o, ..., 



Je dis qu'il résulte de là que tous les antres mineurs de l'ordre n — \ de A, 

 formés au moyen des éléments des m — /; premières lignes et de celle de 

 rangy, sont nuls. 



» En effet, représentons par A',, A'^, ..,, A'„_„, A^ les coefficients des 

 éléments a\ , a'^, ..., «'„_„, «} lorsqu'on développe D^- par rapport à la der- 

 nière colonne, et considérons une colonne quelconque 



«f; 



m-n 

 P 



OÙ p peut prendre les valeurs 1,2. . . ., m. On a 



(2) a;<+au^. 



•+ Kn-n'^m-n' 



K'jc^. 



car le premier membre de cette équation est le développement du détermi- 

 nant obtenu en remplaçant dans Dy la colonne des «' par la colonne des 

 aP; or, pour les valeurs 1,2, ..., m — ?? attribuées à p, ce déterminant est 

 nul, puisqu'il a deux colonnes identiques, et, pour les autres valeurs 

 m — n '- \, . . ., m, il est aussi nul, en vertu des équations (i). 



)) Si maintenant nous considérons un mineur quelconque de l'ordre 

 n — I de A ayant ses éléments compris dans les m — n premières lignes et 

 dans celle de rang y, en donnant successivement à p dans l'équation (2) 

 les m — n 4- i valeurs qui correspondent aux rangs occupés par les co- 

 lonnes de ce mineur, on formera m ~ 11 -r- i équations homogènes par rap- 

 port aux ni -- Il -\- i quantités 



4' A' A' A' 



^\t ■''a? ••'> "-m-m '^ji 



