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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la dérivation des solutions dans la théorie 

 des transformations Cremona; par M. de Jonquières. 



« Le mode de solution qui fait l'objet de ma dernière Communication 

 {Comptes rendus, p. 867) n'est pas le seul qu'on puisse employer. Il y en a 

 d'autres, fondés sur le même principe, qui ont leurs avantages propres. 



» 11 s'agit, dans ce qui va suivre, de déduire d'une solution connue, 

 d'ordre n, des solutions T„+/„ d'ordre n + k. Je supposerai que le nombre 

 entier^ est positif; mais il peut aussi être négatif, de façon à donner les 

 dérivations descendantes. 



» Soient m, p deux nombres entiers donnés, et œ un entier inconnu, 

 désignant le rang, ou indice, du terme a^; de la solution initiale T„, duquel 

 on devra retrancher /n unités pour les ajouter au terme a^+p, de rang x -h p, 

 qui doit, ainsi accru, entrer dans T„+/,. 



» On assemblera les nombres consécutifs i, 2, 3, ..., (« — i) par 

 groupes de un, deux, trois, ..,,(« — i) [sans exclure les répétitions d'un 

 même nombre dans un groupe ('), s'il y a lieu], chaque nombre étant 

 affecté du signe -f- ou du signe —, de f;içon que, dans chaque groupe, la 

 différence (positive ou négative) entre la somme S des nombres positifs et 

 celle S' des nombres néaatifs .'■atiÀfasse à la relation 



— ri ^ I le 



mp. 



Chaque groupe (y, /, /•, . , . , q, t, i^, ...j ainsi formé est ce que j'ai appelé 

 un type dont :: est la base. 



» On fera ensuite la somme ff" des carrés y^, Z-, r^, ... des nombres y, /, 

 ■', . . . surmontés du signe +, et celle a'^ des carrés q"^, t-, i>-, . . . des nom- 

 brrs q, t, v, ... surmontés du signe — , et la valeur de l'inconnue jc sera 

 donnée par la relation 



, , 2 /.■ // H- / - — »i/r — 

 (1 .T— -' ■- , 



où p = a- — (7 -. 



(') Ces répétitions, où d'ailleurs un même nombre ne doit pas figurer avec deux signes 

 différents, accroissent d'autant le nombre total des solutions, dont la formule 1 cil l'on doit 



n'(n' — i) ,. , n'n — i] ., , - , , , ,1 



lire — ! CUL lieu de —^ -^ n étant égal a (« — i) ne tenait pas compte. 



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