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 série ordonnée suivant les puissances décroissantes de x. On dit alors que 

 l'équation possède une intégrale normale d'ordre p. 



» Il arrive, en général, que l'équation est satisfaite Jormelleinent par 

 n séries de la forme (2), mais que ces séries, étant divergentes, ne peuvent 

 représenter des intégrales. On peut dire encore que ces séries divergentes 

 sont des séries normales d'ordre p. L'objet de la présente Note est de mon- 

 trer quelle est la véritable signification de ces séries divergentes. 



» Lorsque tous les polynômes P sont de même degré, ou si aucun d'eux 

 n'est de degré plus élevé que P„, l'équation est satisfaite par n séries nor- 

 males du premier ordre. C'est à ce cas simple que s'appliquent les résultats 

 d'un Mémoire que j'ai fait imprimer dans V American Journal qf Mathematirs. 

 On peut alors, par la transformation de Laplace, mettre l'intégrale de (i) 



sous la forme 



y = S e-'" V dz, 



V étant une fonction de z qui satisfait à une équation linéaire (3) de même 

 forme que (i). 



» Des résultats du Mémoire que je viens de citer on déduit aisément les 

 propositions suivantes : 



» 1° Pour que l'une des séries normales soit convergente, c'est-à-dire 

 pour que l'équation (1) admette une intégrale normale, il faut et il suffit 

 que l'équation (3) admette une intégrale égale à une puissance de z — a 

 multipliée par une fonction entière transcendante. 



» 2" Si S est une des séries normales divergentes, si >,„ en est le n'«™* 

 terme, et si S„ est la somme des 72 premiers termes, l'équation (i) admettra 

 une intégrale J, telle que 



lim^(J — S„) = o, 



quand x tend vers l'infini avec un argument donné. Celte intégrale exis- 

 tera quel que soit cet argument; mais il pourra se faire que l'intégrale J, 

 qui jouit de cette propriété, ne soit pas la même pour les différents argu- 

 ments. 



» Ce fait analytique est tout à fait analogue à celui qui se présente dans 

 l'étude de la série de Stirling. 



» Le cas le plus simple, après celui que nous venons d'étudier, est celui 

 où toutes les séries normales sont du second ordre au plus, c'est-à-dire 

 où le degré de chacun des polynômes P n'est jamais supérieur de plus 

 d'une unité au degré du polynôme qui le précède immédiatement. 



