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 » Les résultats sont, comme on le voit, tout à fait analogues à ceux que 

 nous avons obtenus lorsque les séries sont toutes du premier ordre. Ils 

 peuvent d'ailleurs s'étendre au cas général. 



» Soit, en effet, j- = (f[x) une fonction définie par une équation 

 d'ordre 7i à laquelle satisfont formellenu nt n séries normales d'ordre p. 

 Nous poserons 



li — (f{x)(p{ax). . .(p{aP'' x), t = af, 



a étant une racine p"^""' de l'unité. Alors u, regardé comme fonction de <, 

 satisfera à une équation linéaire facile à former et à laquelle ne satisferont 

 que des séries normales du premier ordre. On pourra alors exprimer u par 

 une intégrale définie à l'aide de la transformation de Laplace. 

 » Quant à j, on l'obtiendra à l'aide de l'équation 



ï =/*-. 



F étant une fonction rationnelle de x, de it et de ses premières dérivées. 



» Ou retrouve donc dans le cas général les résultats que nous avons 

 rencontrés dans les cas particuliers déjà examinés. 



» Il peut cependant y avoir un cas d'exception : c'est celui où l'ordre 

 de l'équation auxiliaire qui donne u en fonction de i s'abaisserait d'une ou 



de plusieurs unités. Il arriverait alors que - — ne serait plus égal à une 



fonction rationnelle, mais à une fonction algébrique de ce, de u et de ses 

 dérivées. L'analyse se poursuivrait d'ailleurs comme dans le cas général. 



» Ce cas exceptionnel se rencontre en particulier dans les circonstances 

 suivantes : il arrive quelquefois qu'on ne peut pas trouver n séries nor- 

 males satisfaisant formellement à une équation linéaire donnée. M. Fabry, 

 dans une Thèse remarquable récemment soutenue devant la Faculté des 

 Sciences de Paris, a montré qu'on peut alors, par une transformation 

 simple, ramener l'équation proposée à une autre susceptible d'être satis- 

 faite par n séries normales. L'équation, ainsi transformée, présentera alors 

 la particularité que je viens de signaler. 



» Il résulte donc des considérations qui précèdent que les séries de 

 M. Thoma;, qui satisfont formellement à une équation différentielle li- 

 néaire, représentent, même lorsqu'elles sont divergentes, les intégrales de 

 cette équation absolument de la même façon que la série de Stirling repré- 



sente la fonction Try— f- » 



