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 ques, homogènes ou non liomogènes de y et x. Ainsi une telle fonction 

 conduira immédiatement à la connaissance d'un point singulier d'une 

 courbe d'un degré quelconque. J,eseul exemple d'une telle fonction, traité 



jusqu'à ce jour, est la simple fonction -y^.^ qui, par cette seule propriété, 



sans aucune autre considération, sert à démontrer l'existence d'une pro- 



prieté projective de courbes dont la condition est — = o. Il nous paraît 



donc très utile de chercher un moyen de produire toutes les fonctions de 

 cette espèce auxquelles nous donnerons le nom de réciprocants purs ou 

 simplement réciprocants. On verra qu'il existe des réciprocants mixtes, 



c'est-à-dire contenant des puissances de -j- (comme la forme bien connue 

 deM.Schwarz, ~ '--^ V^ ~ ) qui possèdent la même faculté d'inva- 



rtx ■ elj:' 2 (l^- dx- J ^ ' 



riance par rapport à l'échange de ^avec jc, comme les réciprocants purs, 

 mais qui évidemment ne peuvent pas indiquer l'existence de points singu- 

 liers dans les courbes. 



» Nous écrirons, au lieu de Ov^, à'j.j, f^lfi §)./, . . ., les lettres t, a, h, 

 c, . . . , et [)our leurs réciproques èyX, SJ.r, ^\x^ . . ., -u, ce, ^,y, . . .. On verra 

 facilement que, pour que F{t, a,b, c, . . .) soit un réciprocant pur, F doit 

 être d'un degré et d'vm poids constant lians les lettres de chaque terme; 

 de plus (pour un réciprocant F d'une nature quelconque), on aura 



F={-ift'\ 



où sera le plus pelit nombre des lettres a, b, c, ... dans un terme quel- 

 conque de F, et 1 sera la moyenne arithmétique entre le poids et trois fois 

 le degré de F, en comptant le poids de t, a, h, c, . . . comme étant — i, o, 

 1,2, Cela donne lieu à une remarque importante par rapport aux réci- 

 procants mixtes: pour qu'on puisse additionner deux formes mixtes afin de 

 former un nouveau réciprocant, il faut non seulement que le degré et le 

 poids soient les mêmes pour tous les deux, mais aussi le caractère qui dé- 

 pend de la valeur de Q et que l'on peut qualifier comme caractère pair ou 

 impair selon la parité de 6. Ainsi, par exemple, 2{b — '5a- et a^ sont tous 

 deux réciprocants, mais 2tb ne le sera pas, parce que les caractères des deux 

 doiniées sont contraires. Il est facile de démontrer que, si R est un réci- 

 procant quelconque, 



(2T& — 3rt-)ô„R + {-izc — 4rti)(ÏAR + (2Tf/ — 4ac)§cR +•■ • 



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