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sera aussi un réciprocant de même caractère que R. Ainsi, en commençant 

 avec le réciprocant a, on peut obtenir une suite infinie de réciprocants 

 mixtes: ces réciprocants ainsi obtenus ne seront pas en général irréduc- 

 tibles; mais, sans les réduire, leur forme fait voir immédiatement que tout 

 réciprocant, qu'il soit pur ou mixte, peut être exprimé comme une fonction 

 rationnelle et aussi (si l'on regarde t comme unité) entière de combinaisons 

 lécjiliines ( ' ) de ces quantités. 



» Pour obtenir tous les réciprocants purs de poids, degré et ordre 

 (c'est-à-dire nombre de lettres) donnés, linéairement indépendants les uns 

 des autres, on peut former une équation partielle différentielle, linéaire, 

 où R est la variable dépendante, et a,b,c,... les variables indépen- 

 dantes; elle exprimera la condition nécessaire et suffisante pour que R soit 

 un tel réciprocant et fournira un moyen sur de résoudre le problème 

 ijroposé. Voici la manière de démontrer ce théorème fondamental. 



» Si, dans l'équation 



F{a,b,c,...)--={-ifr-'-F{a,^.,-/,..), 



on donne à j la variation zœ, on voit que rt, b,c, .. , et conséquemment F, 

 restent invariables. Les variations de a, /3, 7, ... sont faciles à déterminer, 

 et la variation de t est donnée. 



» Ainsi, après quelques calculs faciles, en égalant à zéro, séparément, 

 dans la variation de i-^ F (a, |3, ...), les termes qui contiennent t et ceux 

 (jui ne le contiennent pas, on arrive à deux équations dont l'une sera 



(3«.^-+-4^^ + 5c^^+...)F(a,^,...) = .XF, 



qui exprime la valeur numérique de >., comme fonction du poids et du 

 degré de F; l'autre équation, en écrivant 



V— -3rt'c?„-)- ioab<ii-h{i5ac-Jr 10 hci)B, 



-h {21 ad ■+- 35bc)$j + (28^6 + 56bd-i- 35c-)c^<. +•••) 



sera 



YR=o. 



» Pour voir la loi des chiffres arithmétiques dans V, formons les suites 

 des coefficients de (i -h xf en commençant avec / = 4; divisons chaque ' 



( ' ) Je nomme légitime une combinaison quelconque île réciprocants où l'en évite it'tiii- 

 dilionnci ceux dont le poids, le degré, l'ordre et le caractère ne sont pas les mêmes pour 

 tous. 



