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» Mais, d après 2 , ir ^= ,- -h n- — h n^' -r- dont le dernier terme, pro- 

 duit de deux quantités très petites, est négligeable, et dont le premier a 

 sensiblement pour moyenne —■> il n'est pas difficile de voir, sans récourir 

 aux développements, qu'on trouverait, au Mémoire ^ssa/ sur les eaux cou- 

 rantes, que la moyenne de u' est réductible à— — t- U— • En l'égalant à 



celle (9), on obtient la seconde des deux équations suivantes (10), ne 

 conteîiant plus que la vitesse moyenne U, et dont la première n'est qu'une 

 reproducti on de l'équation (5) dite de continuité : 



^ ' dt d.i- d.v ' de djc ° d.r 3 dt- d.r 



)) 3. Onde solitaire. — Cette onde, une de celles que les équations (lo) 



régissent, est caractérisée par sa longévité ou parce qu'elle se propage avec 



une célérilé (vitesse apparente) constante, sans se déformer (si ce n'est à la 



longue, par des frottements dont nous supposons ici que l'effet ne s'est pas 



encore fait sentir); en sorte que, si l'on fait croître t de dt, et x de d^dt, 



w désignant cette célérité constante, ( et U ne changent [)as. Autrement 



dit, Ç et U sont fonctions de :r — oj/, ou tels que, dans (lo), on peut 



1 , d[i,\]] f/(?,U) 



remplacer les — — — - par — oj -5_ — l. 



» De cette substitution il résulte 



(.1) ^J-.Ç + HU--UÇ]=o, ^.[-.U + ^U^ + gÇ + 5£Ji|=.o. 



» Donc les deux polynômes entre crochets sont constants dans toute 

 l'étendue de l'onde; et, comme tous leurs termes sont nuls pour jr ^ co , 

 ces deux polynômes doivent être égalés à zéro. Il en résulte deux équa- 

 tions, dont la première fournit une valeur de U qui, substituée dans la 

 seconde, donne pour or, en divisant le numérateur par le dénominateur 

 et effaçant les carrés de quantités très petites, 



, . „ „ / 3 ? H-- d'-c,\ 



