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ANALYSE MATHÉMATIQUE, — Sur certaines fonctions- lijperfuchsiennes. 

 Note de M. E. Picard, présentée par M. Hermite. 



« Je me suis occupé, précédeuimenf, des fonctions hyperfnchsiennes 

 qui proviennent des séries hypergéométriqnes de deux variables. Les résul- 

 tats auxquels j'étais arrivé ont besoin d'être complétés et précisés : c'est ce 

 que je me propose de faire dans cette Note. On sait que, pour l'équation 

 linéaire du second ordre E, à laquelle satisfont les intégrales hypergéomé- 

 triqnes 



/ 





(où g et h désignent deux des quantités o, i, a?, x> ), M. Schwarz a signalé 

 des cas dans lesquels l'inversion du rapport de deux intégrales conduit à 

 une fonction uniforme (fuchsienne); ce sont ceux dans lesquels les trois 



nombres 



X + /^ — r , ). + io — f , 1/^ + b.,~ i 



sont ég;nix à l'inverse d'un nombre entier positif, la somme À +- /', -t- />.., 

 étant d'ailleurs inférieure à a. 



)i Je me suis proposé de rechercher les cas analogues à ceux de M. Schwarz 

 pour le système S des trois équations linéaires aux dérivées partielles, au- 

 quel satisfont les intégrales 



X' 



„«,-' (,/ _ i)V(/i - xf-' (a - jf-'dn 



(où g et h désignent deux des quantités o, i , x, y et oo ), ces intégrales étant 

 considérées comme fonctions des deux variables indépendantes x et^. I.e 

 système S admet trois solutions linéairement indépendantes w,, w,, w^» et 

 nous voulons indiquer les cas analogues aux précédents, dans lesquels les 

 équations 



M', Wj 



-- = II, - = (' 



6)| Wj 



donneront, pour a; et j", des fonctions uniformes (hyperluchsiennes) de « 

 et V. 



» Considérons d'abord deux quelconques des quatre quantités 1, u., h, 



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