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qui sont convergentes sans l'être uniformément présentent un certain 

 intérêt, parce qu'on en rencontre d'analogues dans la Mécanique céleste. 

 D;ins une Communication que j'ai en l'honneur de faire à l'Académie le 

 3o octobre i88a, j'ai montré qu'une fonction définie par une pareille série 

 peut devenir plus grande que toute quantité donnée. Mais on peut se de- 

 mander si elle « tend vers l'infini » (c'est-à-dire si, après être devenue plus 

 grande qu'une quantité donnée, elle reste plus grande que cette quantité) j 

 ou bien si sa valeur subit des oscillations d'amplitude indéfiniment crois- 

 sante. Dans ce deinier cas, quelque grand que soit ?„, on peut toujours 

 trouver une valeur de f^ t^ et telle que la fonction ait la valetir que l'on 

 veut. 



» Je vais montrer par deux exemples que les deux cas peuvent se pré- 

 senter. Soit 



Fit) = sïnt -4- A sin - -h A'-sin >-+-... + A"sin -- -h ■ ... 



Cette série sera absolument convergente si A <^ 2 ; mais la convergence ne 

 sera pas uniforme si A >> r . On a alors 



F(2itj — A ¥{i} 4- sin2/, 

 d'où 



(i) F{2i)>AF{t)-i. 



') Observons maintenant que, si l'on suppose < >■ o, 



sin<>/!— -Ti sui— ^— 1— -T . 

 () 2" 2" \ b/ 



d'oii 



(2) 



I 

 Â" 



2 



Prenons ensuite 



to<^^ t,-^ = n>oi 



si ^o<C ^ <^ 2^,,. on aura, en vertu de l'inégalité (2), 



B 



Fc; 



A 



I 



2 



