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qu'en prenant pour A,(-) = o, A',(^) = o, deux équations du premier 

 ordre : l'équation (9) s'intègre alors par les transformations de Laplace et 

 même dès la seconde opération. 



« Aucune réduction n'ayant lieu, on peut au moins imaginer que le sys- 

 tème proposé soit celui-ci : 



^'°^ i t + n'r~hV'p + Q'q^Z'z = o = A'{z). 



» Cela fait, il y a encore deux équations linéaires du second ordre, 



A,(;) = o, A',(:;) = o, 

 vérifiant, avec les précédentes, l'identité 

 (I.) A,A'(s)-A'.A(:;) = o, 



tandis que leurs adjointes vérifient la suivante : 



(12) A,x\{z) — X'A,,{z) = o. 



» L'une ou l'autre des relations identiques (( i), (la) contient toutes les 

 conditions nécessaires pour l'existence de quatre intégrales du système (10), 

 et les équations 



,o^ (.^(-) = 0, 



C^) |..',(.) = o 



ont aussi quatre intégrales communes ('). 



» 3. Les solutions communes à deux ou plusieurs équations aux déri- 

 vées partielles s'obtiennent en intégrant un système d'équations aux diffé- 

 rentielles totales, qu'il est facile de former. En lui appliquant une méthode 

 due à M. Mayer, on reconnaît que toute la question est d'intégrer une 

 équation différentielle linéaire à une seule variable, dont l'ordre est 3 ou 4, 

 selon qu'il s'agit des équations (i) ou (10). Lorsqu'une solution des équa- 

 tions (7) est donnée, l'une des intégrations qu'il fiiut faire pour résoudre 

 entièrement le système (1) est remplacée par une quadrature et les équa- 

 tions (10) et (i3) possédant la même propriélé. 



» 4. Pourvu que :; soit supposée choisie de manière à rendre A'(s) = o, 

 les identités (6) et (4) s'expriment au moyen de la fonction A(z) = Ç, qui 



( ' ) Pour les équalioiis d'ordre quelconque, on trouve des propositions assez analogues, 

 i|iU' les limites imposées à cctie Cnniniiinication ne permettent pas d'indiquer ici. 



