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 simple. J'ai liionlréque B(:;) vériBe l'équation 



l^[?(2)]-?'(^)B(z), 



, . ... iir • F/\ IfRB fz] . 1- 



et je m en suis servi, ainsi que de la lonclion o[z) = , S pour étudier 



certaines équations fonctionnelles ('). Je me propose d'étendre encore le 

 rôle de cette fonction B(z), et d'attirer l'attention sur son importance, 

 qui en fait Vélémenl essentiel de cette théorie. 

 » Je considère les trois équations 



(G) E[y(z)]-y[E(z)], 



(î) S,(z)=y(z), 



(D) S[y(z)]=i[S(.)]. 



» Les solutions holomorphes de l'équation (G) dans le domaine du 

 point X se déduisent toutes de l'équation 



B[Z(z,A-)]-/cB( = ), 



qui, dans le domaine de x, définit une fonction holomorphe, prenant en 

 ce la valeur ar. Deux fonctions Z quelconques vérifient les relations 



» Les substitutions S(A) = \z,Z{z,k)\ sont donc échangeables et elles 

 forment un groupe. Une courbe d'égal module ou d'égal argument de la 

 fonction B(s) se trouve transformée par la substitution S(A) en une autre 

 courbe de même nature. 



» Les fonctions Z(3, A), dans lesquelles modA<^i, forment un sous- 

 groupe : la fonction f[z) en fait partie; ce n'est autre que Z[:;, (p'(x)], 

 c'est-à-dire, au fond, l'une quelconque des fonctions Z[z,k), pour les- 

 quelles modA<[i, car on a généralement k^^Z'[x,k). 



» Lesfonctions Z[z, A), oùmodA<^ i , peuvent être encore définies comme 

 des fonctions ayant le même point-limite x, et donnant lieu à la même fonction 

 limite B(z). Lorsqu'on applique et combine arbitrairement les substitu- 

 tions S(A"), où niodii-<^i, un nombre illimité de fois, on tombe sur le 

 pointa;, qui est ainsi un point-limite pour tout le <jioupe; dans l'une quel- 

 conque de ces substitutions, toute courbe d'égal module de B(z), qui est 



(») Comptes rendus, décembre 1884. Annales de l'Ecole Nurmalc, Supplément [JOur 

 l'année 1884. 



