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 dans le domaine de x un ovale décrit autour de ce point, se transforme 

 en un ovale intérieur, appartenant aussi à une courbe d'égal module de 

 B[z). Ces courbes d'égal module offrent ainsi une image géométrique 

 simple de ces transformations. Lorsque S(A) est une substitution linéaire, 

 ou retrouve les cercles de M. Poincaré; dans d'autres cas, on trouve des 

 cassinoïdes homofocales. 



» L'étude de l'équation (I) se ramène à la théorie des fonctions Z{z,k). 

 Je démontre d'abord que siip(i:) — ^ admet un zérox, qui ne rend modç>'(^) 

 égal nia o ni à i, la fonction 135(3) fait certainement partie d'un groupe de 

 fonctions Z, et qu'elle est représentée par Z[3, (p'(x)]. En partant de là, il 

 est aisé de voir que, si l'on prend pour k l'une quelconque des p valeurs de 

 V(p'(x), la fonction Z(:;, k) donne lieu à la relation 



Z,(., /t) = Z( =, /t") = Z[r, ç'H] = ç(=) ; 



d'où il suit que l'équation (I) possède toujours p solutions holomorphes 

 dans le domaine du point x. Enfin nous avons le moyen de résoudre ce 

 problème proposé et traité à un autre point de vue par M. Korkine : dé- 

 finir la fonction itérative pour des valeurs quelconques de l'indice d'itéra- 

 tion. Il suffit d'imaginer que, dans les formules précédentes, p représente 

 une quantité réelle ou imaginaire quelconque. Dans ce cas, v?'(^) ^ une 

 infinité de valeurs, et à chacune d'elles répond une solution de l'équation 

 itérative, holomorphe en x. 



» L'équation (D) n'est qu'une extension de l'équation (G); pour qu'elle 

 admette une solution holomorphe en a;, il faut que, a; et ^ étant des 

 points limites pour <p(-) et |(3) respectivement, on ait 



9'(x) = ^'(7). 



» Dans ce cas, il existe une infinité de solutions holomorphes au 

 point j:; chacune prend en x la valeur y. On la définit à l'aide de l'équa- 

 tion 



{[>.) c\y{z,k)-\=k^z), 



analogue à l'équation (X), et où C[z) n'est autre que la fonction limite rela- 

 tive à 'j^(s). J'ai été ainsi conduit à un quadruple groupe de fonctions qui 

 se reproduisent les unes les autres, lorsque dans l'une d'elles on remplace 

 l'argument :; par une autre de ces fonctions. » 



