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car les deux expressions comparées de m" changent l'équation (12) en 



Multipliant cette équation différentielle par 2 j^> puis intégrant en obser- 

 vant que ^s'annule en même temps que Ç, on obtient 



(■5) m 



z-ç-[h- -ç 



w ' 



équation montrant déjà que la pente — de la surface fluide est nulle non 



seulement pour Ç = o, mais aussi pour Ç — fi, ce qtù prouve : 



» 1° Que l'onde est tout en relief sur le plan z = H, qui était la surface 



libre primitive de l'eau; 



)i 2" Que h est la hauteur du sommet de l'onde au-dessus de ce plan ; 

 » 3° Que sa surface est symétrique de part et d'autre de l'ordonnée 



(^ z= hde ce sommet, puisque la pente -^ a des valeurs égales au signe près 



pour deux points où Ç a la même grandeur ; 



» 4° Que, comme on a ^ = o pour Ç = o, la courbe coupe de l'onde 



par le plan xz a pour asymptote commune à ses deux branches l'horizon- 

 tale Ç = o ou z = H ; 



» 5° Que, comme on a — =0 aussi pour Ç = |A, cette courbe a deux 



inflexions à une hauteur f /i au-dessus de la même asymptote. 



» 5. Equation de cette onde en Z et X. Comme -^ {-] es\ = — — -— , on a, 



' dx yç y ç2 dv ' 



eu égard à (i 5), 



» Si l'on différeiitie en x et si l'on divise ensuite par 2--^? il vient 



' d.t: Ç 



une équation qu'on peut écrire 



d- / h 1 \ 3h / h I 



de- \K 2 y H-' \ ? - " 



dont l'intégrale, si l'on détermine les constantes en choisissant x = (,yt pour 

 l'ab-scisse du sommet Ç = A île l'onde et de manière à vérifier (16), est 



■coshyp\^^{x-c^t); 



h i i , . /3/1 



= — I 



C 2 ?. 



