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(car on peut faire a = /), mais en nombre fini, car, en faisant croître w, 

 ^y _ j; / _}_ I, co ), au delà d'une certaine valeur de w, deviendra néces- 

 sairement plus grand que (ro; i, co ). On peut exprimer par [l : m) ce 

 que devient (/; ?«, n) quand n = oo , et alors (w : i) — (w — / : /-h i) ex|)ri- 

 mera le nombre de réciprocants linéairement indépendants du poids « et 

 du degré i sans autre limitation. Ainsi on trouvera que du degré i il 

 n'existe qu'un seul réciprocant du poids o; pour le degré 2, un seul du 

 poids 2; pour le degré 3, deux qui seront respectivement du poids 3 et du 

 poids 4 ; <^tc. 



)) On trouvera qu'étant donné ; il existe toujours, sauf pour le cas où 

 / = 1, un réciprocant qui contient toutes lesy-l-i lettres et qui de plus 

 contiendra un terme qui est un produit de la dernière lettre par une puis- 

 sance de a. Ces formes, qu'on peut nommer les protomorplies, sont les 

 analogues des formes a, ac — è^ ard-^. . ., «e +. . ., qu'on connaît dans 

 la théorie des sous-invariants. Dans le cas des réciprocants, ces protomor- 

 phes seront a, ac, . .., a-d, . . ., a-e, . .., a^f, ...,à-g, ..., etc. 



» Évidemment une fonction rationnelle quelconque des lettres peut, au 

 moyen de substitutions successives, être exprimée comme une fonction 

 rationnelle des protomorphes et de b divisée par une puissance de a. Soit 

 donc R un réciprocant quelconque; on aura 



a=R-+-P + Qè+...M- J^'= o, 



où P, Q, .. ., J sont eux-mêmes des réciprocanls. En opérant / fois sur 

 cette équation avec notre opérateur V, on voit qu'on obtient «'"J = o; 

 donc J est nul, et l'on voit ainsi que tous les termes Q, . . ., J disparaissent 

 et que R (en faisant a = i) devient une fonction rationnelle et entière des 

 protomorphes. Nous allons appliquer ce principe fondamental, commun 

 aux deux théories des sous-invariants et des réciprocants, pour obtenir les 

 formes irréductibles (les Gmndformen) des réciprocants pour les 

 onlres 2, 3, 4- 



» Faisons y = 2, r = 2, w = 2 et supposons que le réciprocant R soit 

 \nc -\-[j.b-', on obtient 



VR = (3a=ôi-)- io«/;ô,.)R = (6;x + ioX)«°^^ = o. 



)) Donc — ). : p. : : 3 : 5 et nous obtenons le réciprocant Zac — îyb- (' ). 



(' ) Il est bon de rern.-irqiier que 3«c — 56- =0, c'est-à-dire 



^ (F- y d'y ^ fd'yy- 

 <l.i- tt.v' \(/.r- I 



