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» Passons au cas y" = 3, / = 3, w = 3, et posons 



R = la-d -h [j.abc -+- vb^. 

 On aura 



YR = (3rt- o/, -f- ioah§, + 1 5ac + loh^ ^,i) R 



= (3[x + ï3l)a'''c -+- (qv h- io;^. + io>v)a^/;- = o. 



On aura donc 



y. = — 5)., Qv = 4o)^, 



de sorte qu'on peut écrire 



R = ga-d — ^5abc -+- 4o/>^ 



On reconnaîtra immédiatement que R = o est l'équation différentielle 

 donnée par Monge et retrouvée par M. Halphen à une conique et que 



exprime la condition que le point [x, y) d'une courbe quelconque sera un 

 point d'inflexion du second ordre, c'est-à-dire un point où une conique 

 passe par six points consécutifs. Le nombre de ces points peut être trouvé 

 en fonction linéaire de n, ordre d'une courbe donnée, en opérant sur cette 

 équation une transformation analogue à celle au moyen de laquelle on passe 



du système y = o, -j^ = o au système équivalent, mais épuré, = 0; 



H9 = o('). 



iiuliqiie que le point (r, r), qiianil cette équation est satisfaite i)ar telles coordonnées d'une 

 courbe quelconque, est un point supra-parabolique, c'est-à-dire où une parabole passe 

 par 5 au lieu de 4 points consécutifs seulement. 



iM Pour le cas d'une cubique, le nombre de ces points d'inflexion du second ordre est 

 vingt-sept; on démontre facilement que ce sont les intersections de la courbe avec son 

 covariant du degré-ordre la.g. 



On voit immédiatement, au moyen de notre théorie connue de résidus géométriques, 

 que ces vingt-sept points sont les points de la cubique où elle est rencontrée par les neuf 

 faisceaux des tangentes qu'on peut mener des neuf points d'inflexion ordinaire. Car un 

 quelconque de ces points doit être tel que sa dérivée à l'indice 5 sera co'incidente avec le 

 point lui-même. On aura doue i , i = i ,5, c'est-à-dire 2 = l\, ce qui veut dire que le tan- 

 gentiel du point est un point d'inflexion; ce qui était à démontrer. 



Soit dit, par parenthèse, que la même théorie de résiduation enseigne que le point fixeQ, 

 où une cubique donnée sera coupée par une autre cubique quelconque qui a en conunun 

 avec la première 8 points consécutifs à un point donné P, sera le troisième langentiel de P 

 et peut être nommé son satellite ; quand le satellite coïncide avec son primaire, en se ser- 



