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» Passons an cas où j =. ^, i = 3, o) = 4, et écrivons 



K = la'^e -\- [j.ahd -f- vac- -i- nb-c. 

 On atira 



V = 3fl-^j-4- ioab5^+ {i5ac ■+- iob'-)5a-+- (2ia^+ 356^)5^, 



et, en posant RV = o, on obtient, en égalant séparément à zéro les coeffi- 

 cients de a^d, a-bc, ab^, les équations 



ai'X+Sfi. = 0, 35X + l5[y. + 20V 4- ÔTT = o, iojj. + iott = o, 



et ainsi on neiit écrite 



R = 5a'e— 35a^<^+7ac2+35è='c. 



» Voici donc le système de protomorphes pour tous les ordres ju&qu'an 

 quatrième inclusivement : 



(i) a, 



(2) 3ac — 5 b-, 



(3) ga-d— ItSabc -h liob^, 



(4) 5a^e — 35abd-\- ']ac--h35b^c. 



» En combinant le cube du deuxième avec !e carré du troisième, et en 

 divisant par a, on obtient la forme (analogue au discriminant) de la cu- 

 bique, mais d'un degré plus élevé, 



( lio5 a' d'' — ^o5o a^bcd -h ï'j 28 a^c^ 

 ^' \ ■+i585nb^c- + 36ooab'd-î8ooob'r{'). 



vant pour le moment de la forme canonique pour exprimer la cubique donnée, et en nom- 

 mant r, j, :; les coordonnées du primaire, celles du satellite seront (d'après notre théorie 

 exposée dans V American Journal of Mathcmatics] x, y, zmtdtipliés respectivement par des 

 fonctions rationnelles de r'jjr', s', chacune du degré 21. 



C'est un fait depuis longtemps connu que les points primaires qni coïncident avec leurs 

 satellites (en ne tenant pas compte des neuf inflexions) sont en nombre 72. 



( ') Cette fonction, égalée à zéro, exprime que x, y sont les coordonnées d'un ])oint par 

 où l'on peut faire passer une parabole cubique ayant 5 points consécutifs comn)nns ;i la 

 courbe dont x,y sont les coordonnées. 



