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les limbes de ces cercles concentriqneineiit et siniuiumémenl de part et 

 d'autre de la platine, puis employer un double Iracelet qui marquerait, à 

 chaque coup, deux divisions à la fois, une sur la face extérieure de chaque 

 limbe. La division des deux cercles serait alors aussi rapide que celle d'un 

 seul, et l'identité de leurs erreurs complètement assurée. « 



AiSALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une nouvelle classe d'équations différentielles 

 linéaires intégrables. Note de M. Halphen. 



« Je me propose de faire connaître les caractères distinctifs des équa- 

 tions linéaires, sans second membre(à inconnue^ et à variable x), dont 

 la solution générale revêt la forme 



( I ) J = e"-''J{x) + e*-'> (x) -r £'••'■ (j; (x) -h . . . , 



les symboles /, 153, tj;, ... désignant des fractions rationnelles. 



» Pour bien entendre l'énoncé qui va suivre, il faut se rappeler qu'une 

 méthode fort simple, due à M. Fuchs, permet de reconnaître si la solution 

 générale d'une équation linéaire est une fonction uniforme (pour toutes 

 les valeurs de la variable). 



» Théorème. — Pour qu'une équation linéaire 



s'intègre sous la forme (i), il faut et il suffit : 1° que ses coefficients P soient des 

 polynômes entiers, dont le degré ne surpasse pas le degré du premier d'entre 

 eux Pq-, 2° que son intégrale générale soit uniforme. 



» Les deux conditions sont nécessaires. Pour la seconde, c'est évident. 

 Pour la première, c'est une conséquence immédiate de la théorie des in- 

 tégrales irrégulières, commencée par M. Thomas, continuée récemment par 

 M. Poincaré. Mais cette théorie ne semble pas encore permettre de 

 prouver que les deux conditions sont sulfisantes. On aurait même cru d'a- 

 bord qu'elles ne le sont pas. C'est ce qu'on va comprendre par l'examen 

 d'un cas particulier. 



» En général, si tous les polynômes P sont d'un même degré ;«, soient 

 Ao, A,, . . ., A„ les coefficients de x'" dans chacun d'eux : les constantes a, 

 b,c, ..., qui figurent dans l'expression (i) de y, sont les racines de l'é- 

 quation 



(3) A„=" + A,z" '-^ ... + A„_, = -t- A„ = o. 



