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» Si donc Po est seul du plus haut degré, les constantes a,b, c, . , . se- 

 ront toutes nulles, et j sera rationnel. Or on sait, par la théorie des inté- 

 grales régulières, que nécessairement, si y est rationnel, P, est au plus du 

 degré wz — i, P2 du degré m — 2, .. ., P,; du degré m — n. On serait donc, 

 dans ce cas particulier, tenté de croire insuffisantes les deux conditions 

 énoncées. Il n'en est rien : la seconde entraîne avec elle, d'une manière 

 cachée, cette loi des degrés des polynômes. 



» Ces considérations justifient, je pense, la méthode détournée, quoique 

 très simple, par où je prouve mon théorème, en faisant appel aux fonctions 

 elliptiques ('). Il suffira d'indiquer ici, par quelques mots, ma démon- 

 stration. 



» Toute équation (2), qui satisfait aux conditions énoncées, peut être 

 considérée comme la dégénérescence d'une autre équation, à coe/j^aen<6 

 doublement périodiques et à intégrale générale uniforme. Ceci devient 

 presque évident quand on a divisé le premier membre (2) par P^ et réduit 

 chaque coefficient en fractions simples, si alors, dans chaque coefficient, 

 la somme des résidus est égale à zéro. Mais cette restriction disparaît si l'on 

 a soin d'envisager une équation à coefficients doublement périodiques 

 ayant ii points singuliers de plus que la proposée. On peut prendre les va- 

 leurs de Xy qui répondent à ces points singuliers sous la forme «-4-a,, 

 w + a,, ..., où w désigne une demi-période. Si maintenant on fait con- 

 verger vers zéro les deux invariants des fonctions elliptiques, les éléments 

 simples, relatifs aux points singuliers supplémentaires, tendent tous vers 

 zéro, pourvu que a,, «2» ••• conservent des valeurs finies. En même 

 temps, les éléments simples, relatifs aux points singuliers primitifs, con- 

 vergent vers les fractions simples qui forment les coefficients de l'équation 

 proposée (2). 



« Par un beau théorème, dû à M. Picard, on connaît la forme générale 

 de la solution pour une équation à coefficients doublement périodiques et 

 à intégrale générale uniforme. Cette forme dégénère en la forme (i) quand 

 les invariants convergent vers zéro. Ma proposition se trouve ainsi prouvée. 



» J'avais déjà, il y a six ans ("), indiqué qu'on peut, des équations à 

 coefficients elliptiques, déduire d'autres équations intégrables sous la 



1 1 ) Je sais aussi démontrer la proposition par une autre méthode, où les fonctions ellip- 

 tiques n'interviennent pas. 



(^ Mémoire sur la réduction des équations différentielles linéai/es, p. Ili, 1 80 et 2^3 

 (Savants étrangers, t. XXVIU). 



C. R., i885, 2- Semestre. (T. CI, N" 24.) I"I 



