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forme (i). Mais, à cette époque, je n'avais pas soupçonné l'existence d'un 

 théorème aussi général et aussi simple. Voici les exemples que j'avais alors 

 donnés {n est un nombre entier, qui, dans le second exemple, ne doit pas 

 être divisible par 3); le premier est, depuis bien longtemps, classique : 



,,, I — n- , Il — 72- \ 



y + —;^y - \-x^ + aj j = o; 



» Voici maintenant des exemples nouveaux; on peut en composer à 

 volonté : 



» Dans celui-là, outre la solution J'^ a.x- ~ 2(2/2 — i), il y a deux 

 autres solutions de la forme e*^"'"/(;r), oùy^est rationnel. 



Il ^^ r 2a n{n-\-i) , ., ."] 



y -i^—;y - [i?ir7 + 7V^+(^ -")(« + " + Ojj = o- 



» Dans ce nouvel exemple, ?i peut être supposé positif, et il y a deux 



solutions de la forme —;;-J{3c)^ oîi /est un polynôme entier, du degré « + i. 



» Voici enfin la forme générale de l'équation (2) quand on lui impose 

 la condition d'avoir te point singulier unique x ^ o, où les intégrales par- 

 ticulières doivent appartenir aux exposants o, i, 2, ... (« — 2) et n : 



f") ={l^a-k\ /'"-•) + (1 + A, a - Ao) j'"--' -+-... 



+ (^+ ^«-^ - A„^.)/+ (^-^ + A„_,«) j = o. 



w Elle a pour solutions les exponentielles e"', où a est racine de l'équa- 

 tion 



f[a) = a'-' + A, «"-= + k^ji"^' +. . .+ A„_, = o; 



et aussi cette autre solution complémentaire 



