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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur itn nouveau mode de génération des courbes algé- 

 briques unicursales. Note de M. G. Fouret, présentée par M. Laguerre. 



« I. Le rôle important des courbes algébriques unicursales, dans un 

 assez grand nombre de questions d'Analyse et de Géométrie, nous a fait 

 penser qu'il pouvait y avoir quelque intérêt à faire connaître un nouveau 

 mode de génération, s'appliquant à toutes ces courbes, quelles qu'en soient 

 les singularités. Ce mode de génération repose sur la considération du 

 ceiUre harmonique d'un système de points, introduit dans la Science par 

 Poncelet, et défini ensuite par Cauchy de la manière suivante : 



» Etant donné dans l'espace un système de points de masses quelconques, 

 positives ou négatives, sollicités par des forces parallèles, respectivement 

 proportionnelles, en grandeur et signe, aux masses et aux inverses des 

 distances de ces points à un pian, le centre harmonique du système, par 

 rapport à ce plan, est le point de masse égale à la somme algébrique des 

 masses données, qui coïncide aveclecentre des forces parallèles considérées. 



» Eu partant de cette définition, on démontre aisément, parla Géométrie, 

 le théorème suivant : 



» Etant donnés dans Cespace n + i points A^, A,, A,, • . ., A„, affectés res- 

 pectivement des masses m,,, m,, m.,, . . ., m,^, le centre harmonique de ces n + i 

 points, par rapport à un plan variable, passant par une droite fixe A, décrit une 

 courbe unicursalc du «""""' ordre passant par les n + i points A. 



)) Cette courbe est gauche, à moins que les points A ne soient dans un 

 même plan. Dans ce cas, la courbe est située dans le pian, et l'on peut 

 donner à l'énoncé du théorème une forme un peu différente. Nous ne nous 

 occuperons ici que du cas des courbes gauches, qui comprend implicite- 

 ment celui des courbes planes. 



» II. La proposition précédente n'a en elle-même que peu d'intérêt. 

 La réciproque nous parait en présenter davantage. On peut, en effet, dé- 

 montrer que toute courbe algébrique unicursale peut être engendrée 

 comme il vient d'être dit, et même d'une infinité de manières, en raison du 

 choix arbitraire que l'on peut faire de la droite A (' ) et de trois des points A 

 pris à volonté sur la courbe. la démonstration, que nous ne ferons qu'in- 

 diquer, s'appuie sur les belles méthodes données par M. Hermite (-) pour 



(') Cette droite toutefois ne doit pas rencontrer la courbe. 

 ('^) Hermite, Cours d'Analyse, t. I, p. SaS. 



