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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le mouvement d'un point dans un plan 

 et sur te temps imaginaire ; par M. L. Lecornc. 



« La rareté des cas dans lesquels on sait intégrer les équations du mou- 

 vement d'un point soumis à des forces données inspirait, en 1842, à Jacobi, 

 dans son Mémoire De motn puiicti singularis [Journal de Crelle), la ré- 

 flexion suivante : « Quo ma/ores in génère difficultates parit inlegratio œqua- 

 tionum differentialiwn dynamicarum, eo majore cura ea examinare debemus 

 problemata mechanica, in quibus inlegralionem ad quadraturas perducere con- 

 tigit. » Il n'est donc pas sans intérêt de signaler un problème dynamique 

 dont la solution se ramène immédiatement à des quadratures, et qui pré- 

 sente en outre une application mécanique de l'analyse créée par Cauchy. 

 Il s'agit de trouver le mouvement d'un point matériel dans un plan, sa- 

 chant que les composantes X, Y de la force sont des fonctions des coor- 

 données rectangulaires x, j du point et satisfont aux relations 



ÔJ- dy dy dx 



ce qui revient à dire que X -f- JY est une fonction analytique de x 4- iy. 

 Si l'on pose 



a:-{-iy — z et X. ■+■ iy = t,V'{z), 



les équations du mouvement (pour une masse égale à l'unité) 



d^-.T _ ,r-y _ 



donnent 



d"-z 



IF 

 d'où 



clt=. 



S=in^)> 



S/F(.) + C 



» Une seconde quadrature fournirait, sous forme finie, les équations 

 du mouvement. 



)) L'étude de la relation précédenle, lorsque F(2) est une fonction mono- 

 drome, fait l'objet principal d'un travail inséré par moi dans le LV* Cahier 

 du Journal de l'Ecole Polytechnique. En appelant régime l'état de mouve- 

 ment défini par une valeur particulière de la constante arbitriiire C; points 

 d'arrêt les points pour lesquels la vitesse s'annule; points de projection les 



