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X étant un paramètre arbitraire. Il y ^ donc xin faisceau de surfaces qui 

 ont pour ombilics tous les points de P, et dont la forme se déduit aisément 

 de la discussion de leurs sections planes. Remarquons du moins qu'une 

 surface quelconque S du faisceau coupe le plan des jz suivant la parabole P, 

 et sa directrice D, le plan Ijc -h m ■= o suivant une parabole P' et sa direc- 

 trice D', dont les projections sur O^z sont précisément P et D. 



» Les droites, autres que D et D', qu'on peut tracer sur S sont imagi- 

 naires; elles sont contenues dans des plans passant par D et D' et faisant 

 avec Ojc^ des angles dont les tangentes sont respectivement données par 

 les équations 



iG«' — 8//^ — Slir -\- u = o, 2«* :- 2u^ — lu- = o; 



D' et les six droites qui la rencontrent sont simples, les huit droites qui 

 rencontrent D comptent comme doubles et D comme droite quadruple. En 

 tous les points de D, S a un contact du troisième ordre avec un cône du 

 second degré : sur D', on n'a pas de contact de cet ordre avec une qua- 

 drique. 



» Considérons sur P un point A par lequel j = h et prenons pour axes 

 de coordonnées la parallèle Ax' à O^r, la tangente A/' et la normale Az' 

 à P; l'ordonnée d'un point M pris sur S à une distance infiniment petite 

 de A peut se développer suivant les puissances de x' etj' : 



'3 



i[h'--hm'-y 





» La normale à S en sï se projette sur le plan Ax'y' suivant une droite 

 ayant pour équation 



(X' - .x') [2 mf - 3 h- m ''""'^^''^ + . . .1 



[ 



(Y' — jr') 2rax'-4-Àx'- — 



[b^'-i-m-)' 



la plus courte distance de cette normale et de la normale en A est donc, 

 en général, infiniment petite du second ordre; mais elle s'abaisse au troi- 

 sième ordre si l'on a 



.'U/^-X^^:^!^.-'; 



-bx'A^c; 



on peut en conclure que, par l'ombilic considéré, il passe trois lignes de 



C. R., i885, 2' Semestre. (T. CI, iV" '24.) 162 



