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 celui où le déblai et le remblai sont des volumes, nécessairement équiva- 

 lents, fait connaître la proposition suivante, qui est la pierre angulaire de 

 cette théorie : 



Les roules de transport doivent servir chacune à une infinité de parcelles, et 

 elles sont nécessairement normales à une famille de surfaces parallèles. 



Mais il faut avouer que les raisonnements par lesquels Monge est conduit 

 à ce beau théorème n'entraînent, en aucune manière, l'adhésion ; ce point 

 essentiel, malgré l'étude nouvelle qui en a été faite parDupin, attendait 

 encore une démonstration solide et appelait de nouvelles recherches. 



I.a Commission espérait donc rencontrer, dans quelques-uns des Mé- 

 moires soumis à son examen, la preuve complète et l'étude générale du théo- 

 rème de Monge; elle désirait aussi, sans troposerl'espérer à cause delà diffi- 

 culté de la question, obtenir l'intégration complète, dans un cas suffisamment 

 étendu, de l'équation aux dérivées partielles du second ordre, déjà formée 

 par Monge, qui sert à déterminer la surface normale à toutes les routes. 



Le Mémoire inscrit sous le n° 5 répond d'une manière complète aux 

 espérances aussi bien qu'aux vœux de la Commission. C'est un travail de 

 haute valeur où sont employées, alternativement et avec le plus grand 

 succès, les ressources de la Géométrie et les méthodes de l'Analyse mo- 

 derne; il réalise un progrès considérable dans l'étude de la question mise 

 au concours. Au début de son Mémoire, l'auteur s'élève de la considéra- 

 tion d'un système de points isolés à celle des masses continues. Il énonce, 

 sous le nom de principe de translation, principe de symétrie, etc., un 

 certain nombre de propositions élégantes et simples, dont l'application 

 rendra certainement de grands services dans la pratique. Nous signalerons 

 plus particulièrement deux propositions faisant connaître deux systèmes 

 différents de routes, d'une définition très générale et réalisant, l'un et 

 l'autre, le minimum absolu du prix de transport. 



Dans la deuxième Partie de son travail, l'auteur du Mémoire n° 5, après 

 avoir démontré que les routes forment un système continu ou se décompo- 

 sent en plusieurs systèmes continus, applique la méthode des variations au 

 problème de Monge, et il établit le théorème fondamental, sans même sup- 

 poser que la densité soit constante à l'intérieur du déblai ou du remblai. 

 Enfin il examine le cas où les routes se partagent en plusieurs systèmes con- 

 tinus et il indique les moyens de déterminer les surfaces séparatrices, c'est- 

 à-dire les surfaces auxquelles viennent aboutir les routesappartenant à deux 

 systèmes différents et contigus. 



Dans le cas des aires planes, nous l'avons déjà rappelé, le problème de 



