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 Monge peut recevoir une solution complète où ne figurent que des quadra- 

 tures. On devait se demander si, dans l'espace, l'équation aux dérivées par- 

 tielles donnée par Monge n'est pas, elle aussi, inlégrable dans tous les cas 

 et d'une manière générale. Les résultats obtenus par l'auteur du Mémoire 

 donnent une réponse complète à cette question difficile. Dans le cas où, 

 par exemple, les volumes se réduisent à des aires planes situées dans des 

 plans parallèles, l'intégration de l'équation de Monge est ramenée à celle 

 des surfaces minima si les aires ont même densité, et à celle des surfaces 

 à courbure constante si les densités sont différentes. 



Ces exemples sont précieux, parce qu'ils prouvent que l'on doit renon- 

 cer à intégrer dans tous les cas l'équation du second ordre de Monge; 

 mais aussi parce qu'ils ont permis à l'auteur de signaler avec netteté les 

 difficultés nouvelles et sérieuses que l'on rencontrera, même après avoir 

 intégré cette équation. 



Ces difficultés sont de la nature de celles qui se présentent dans la théorie 

 des surfaces minima. Si l'on considère toutes les surfaces formant une 

 nappe continue passant par une courbe fermée, le calcul des variations 

 apprend que la surface d'aire minimum aura, en chaque point, ses rayons 

 de courbure égaux et de signes contraires. L'équation aux dérivées par- 

 tielles de cette surface une fois intégrée, la condition à laquelle elle est 

 assujettie de passer par la courbe ne permet pas de déterminer complète- 

 ment les deux fonctions arbitraires dont elle dépend. Il existe une infinité 

 de surfaces minima contenant la courbe; mais ces surfaces ne satisfont pas 

 toutes, on le sait, à la condition, supposée cependant par le calcul des 

 variations, de former une nappe continue reliant les uns aux autres tous 

 les points de la courbe. On ne peut déterminer les deux fonctions arbi- 

 traires qu'en employant des considérations tout à fait indépendantes de la 

 méthode des variations, puisque la condition à laquelle il s'agit de satis- 

 faire est supposée remplie au moment même où commence l'application 

 de cette méthode. Le problème auquel on est ainsi conduit arrête aujour- 

 d'hui encore les efforts des géomètres et n'a pu être résolu que dans quelques 

 cas particuliers. 



La solution du problème de Monge présente des difficultés analogues 

 et peut-être plus grandes. Les fonctions arbitraires d'une variable, qui 

 entrent dans les équations du système des routes, doivent être déterminées 

 par la condition que les routes forment un système continu, permettant de 

 transporter dans l'ensemble du remblai la totalité des parcelles qui com- 

 posent le déblai. La condition, évidente apriori, que les routes limites soient 



