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 lançentes à la fois à la surface du déblai et à celle du remblai ne fait con- 

 naître qu'une de ces deux fonctions et il n'existe, comme dans la théorie des 

 surfaces minima, aucune règle fixe et précise conduisant à la solution com- 

 plète de la question proposée. Des exemples bien choisis jettent beaucoup 

 df^ lumière sur cette discussion délicate. 



Les indications rapides qui précèdent suffiront à montrer toute l'impor- 

 tance des résultats obtenus par l'auteur du Mémoire n" 5. 



Le Mémoire inscrit sous le n" 1 contient également une réponse satis- 

 faisante à plusieurs des questions dont la solution était désirée par la Com- 

 mission. L'auteur, qui paraît très bien connaître la méthode des variations, 

 en fait une application précise et élégante au problème proposé. Il donne, 

 même dans le cas où la densité est variable à l'intérieur du déblai et du 

 remblai, la démonstration rigoureuse du théorème de Monge. 



L'application systématique du calcul des variations le conduit à l'équa- 

 tion aux dérivées partielles qui régit le système des routes, ainsi qu'à la 

 détermination des surfaces séparatrices, dans le cas où les roules se par- 

 tagent en plusieurs systèmes continus. Pour se conformer aux désirs de la 

 Commission, exprimés dans un Rapport inséré aux Comptes rendus, t. C, 

 p. 489, il donne la détermination du système des routes dans le cas où le 

 déblai et le remblai sont des solides de révolution autour du même axe; 

 mais ce cas particulier, qui a été aussi étudié par l'auteur du Mémoire n° 5, 

 se ramène immédiatement à celui où le déblai et le remblai sont des aires 

 situées dans un même plan, la densité de chaque parcelle étant égale à la 

 distance de cette parcelle à une droite fixe du plan. A la fin de son Mé- 

 moire, l'auteur se propose d'appliquer les méthodes de Monge et d'Ampère 

 à la recherche des cas dans lesquels on peut intégrer l'équation aux dé- 

 rivées partielles de la surface normale à toutes les routes. Nous l'enga- 

 geons, s'il désire poursuivre cette recherche, à revoir soigneusement la fin 

 de son travail; les raisonnements qui l'ont guidé ne nous paraissent pas à 

 l'abri de toute objection. 



Enfin, le Mémoire n°2contient une étude clairement écrite dans laquelle 

 l'auteur, employant exclusivement la méthode géométrique et suivant la 

 voie ouverte par Dupin, se propose de démontrer le théorème de Monge 

 par des voies élémentaires; on lui doit plusieurs remarques ingénieuses et 

 quelques exemples dans lesquels la détermination des routes de transport 

 s'effectue d'une manière élégante. 



La Commission propose de partager le prix Bordin entre les Mémoires 

 n° 5 et n° 1, en attribuant deux mille francs à l'auteur du Mémoire n" 5, 



