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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une nouvelle théorie déformes algébriques ( ' ). 



Note de M. Sylvester. 



« Nous avons remarqué, par parenthèse, que l'équation 



(i + ^-)^ - 3ta-^o 



indique l'existence d'une singularité au point dont les coordonnées sont 

 les X, y sous-entendus dans t, a, b de l'équation. 



» Mais, pour cpie cela soit vrai, il faut introduire la restriction que x, y 

 sont des coordonnées rectangulaires , 



> On peut donner le nom de réciprocant orthogonal à tout réciprocant 

 mixte qui jouit de la propriété de rester invariable (sauf l'introduction 

 d'une puissance de t) quand on opère sur jc et y une transformation linéaire 

 orthogonale. Cela étant convenu, on peut démontrer facilement que le coef- 

 ficient différentiel par rapport à t d'un réciprocant est lui-même un réci- 

 procant ou pur ou mixte. La proposition réciproque est aussi vraie, de 

 sorte qu'on a le beau théorème suivant : 



» Si R. et — sont tous les deux réciprocants, alors R est un réciprocant ortho- 

 gonal. 



>) Par exemple, le réciprocant que nous avons cité plus haut a pour 

 coefficient différentiel par rapport à « la schwarzienne 2tb — '5a^; donc 

 c'est un réciprocant orthogonal ; et, eu effet, il exprime qu'au point {x, j), 

 où l'équation itb — 3a^ = o est satisfaite, on peut appliquer un cercle qui 

 aura un contact du troisième ordre avec la courbe dont x et y sont les coor- 

 données; au contraire, la schwarzienne elle-même ne correspond pas à une 

 singularité quelconque, car sa dérivée par rapport à t, c'est-à-dire 2Ô, n'est 

 pas un réciprocant. 



» De même nous avons trouvé qu'en intégrant le réciprocant 2tc — loab 

 par rapport à t, entre les limites tel — c — i5rt% la forme résultante 



sera un réciprocant et conséquemment un réciprocant orthogonal, de sorte 

 que l'équation 



[i + t-)c — loaht -H i5a'= o 



sera la condition d'une singularité de la courbe f{j, x) ^ o qui se rap- 



(') /^'o(> même Tome, p. 1225. 



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