( t462 ) 

 porle aux points circulaires à l'infini ('). Peut-être trouvera-t-on que l'inté- 

 grale, par rapport à t, d'un réciprocant mixte quelconque, prise entre des 

 limites convenables, conduira nécessairement à un réciprocant orthogonal. 

 Les singularités d'une courbe peuvent être partagées en trois classes : celles 

 de la première classe seront projectives et peuvent être définies indiffé- 

 remment au moyen de covariants de formes ternaires ou par des récipro- 

 cants purs; celles de la deuxième classe seront non projectives, mais n'au- 

 ront affaire qu'avec la ligne à l'infini ; les singularités de cette classe seront 

 exprimables au moyen de réciprocants purs, mais non pas au moyen de 

 covariants de formes ternaires. Restent celles de la troisième classe qui non 

 seulement ne sont pas projectives, mais sont quasi métriques en caractère, 

 c'est-à-dire ont des rapports avec les points circulaires à l'infini; les 

 singularités de cette classe sont signalées par l'évanouissement de récipro- 

 cants orthogonaux. Les réciprocants mixtes, qui ne sont ni purs ni ortho- 

 gonaux, comme celui, par exemple, de M. Schwarz, ne répondront à au- 

 cune de ces trois espèces de singularités; mais, quoique ne servant pas à 

 représenter une propriété invariable d'une courbe, ils serviront souvent, 

 peut-être toujours, comme bases des réciprocants orthogonaux, c'est-à-dire 

 qu'ils seront les coefficients différentiels par rapport à t de ces derniers. 



» L'échelle des prolomoi plies, aussi bien dans la théorie des réciprocants 

 purs que dans celle des sous-invariants, joue un rôle si capital, en ce qui 

 concerne la détermination des formes irréductibles, qu'il nous semble in- 

 dispensable de donner une démonstration rigoureuse de son existence dans 

 l'une et l'autre théorie. 



» 1° Quant aux sous-invariants, soit /l'ordre (c'est-à-dire; + i le nombre 

 des lettres que l'on considère). Si / est pair, on connaît les formes inva- 

 riantives «c H- . . , rte -t- . . ., «g -+- • • , et l'on peut passer au cas où / est 

 impair. Dans ce cas, le nombre de sous-invariants du poids / et du 

 degré 3 sera 



(;;3,;)-(/-i;3,;). 



)) Mais il faut démontrer qu'il existe une forme de ce type, dans laquelle 

 le coefficient du produit de a- et de la dernière lettre n'est pas nul. 



(') M. James llammond, dont on connaît les belles et importantes découvertes dans la 

 théorie invariantivc des l'ormes binaires, a trouvé l'intégrale de cette équation, que nous 

 avons donnée dans un discours inaugural, prononcé devant l'Université d'Oxford, lequel va 

 être publié dans le journal anglais Nature. 



