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 » Or je dis que le nombre des formes du type supposé, qui ne contiennent 

 pas cette lettre, sera 



» Mais 

 et, évidemment, 



(/; 3.7- 0-(;- i; 3,/- i). 



f/- >; 3,/) = (/- i; 3,/-i) 



(/;3,/)-(;; 3,/- i) = i; 



car les partitions dont le nombre est (y ; 3,;') contiendront toutes les par- 

 titions dont le nombre est ty ; 3, y — i) et en plus la partition constituée 

 par y combiné avec des zéros. 



)) Conséquemment il existe un sous-invariant dont un terme sera le pro- 

 duit de a- par la dernière des lettres que l'on considère. 



» 1° Quant aux réciprocanis purs de l'ordre y, nous avons déjà dé- 

 montré qu'on peut satisfaire à l'inégalité 



(/ ■■,x,j) — {j-i\x + i J) > o 



en donnant à x une certaine valeur pas plus grande que y* — i; et, pour 

 démontrer qu'il y aura un réciprocant pur qui contient actuellement un 

 terme a*"~' niulliplié par la dernière lettre, on pourrait faire précisément 

 le même raisonnement que nous avons fait ci-dessus pour le cas précédent, 

 et, puisque 



excède de l'unité la valeur de (y; x,j — i) — (y; a; -h i, y — i), on conclura 

 avec certitude l'existence d'un protomorpbe pour l'ordre/. 



» On peut, en général, trouver plusieurs valeurs de x qui rendent 

 {j;x,i) — {j — \ ; X + i,j) positif; parmi ces valeurs, il est commode 

 d'adopter, comme prolomorphe par excellence, une quelconque de celles 

 pour lesquelles la valeur de x qui satisfait à cette inégalité est un mi- 

 nimum. Quand la lettre la plus avancée est inférieure à h, il n'y en a 

 qu'un seul qui réponde à cette définition. Ainsi, par exemple, siy = 5, 

 l'inégalité 



{S -.x) — (4 : jr -I- i) > I 



donne pour x la valeur minimum x = f\ et, avec l'aide de l'anéantisseur 



-h {-il ad + 35 6c)S^+(28ae+56éf/-h35c=')rV, 



