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 Dans cette formule, les résidus A, B, . . ., L ne sont pas arbitraires ; ils sont 

 liés par m relations linéaires homogènes. 



» Considérons maintenant une fonction ^{z) de troisième espèce con- 

 tenant m fonctions© de plus au numérateur qu'au dénominateur et ramenée 

 à vériBer les relations 



m -K z i 



cî.(s + 2K) = (Ii(z), <I'(s4-2/K') = e "^ a'(z); 



désignons par a, è, .. ., / les pôles supposas simples que cette fonction 

 possède dans un parallélogramme des périodes PQRS dont les sommets 

 sont Zo, ^o-f- 2K, Zo + 2R4- 2/K', s„-H 2/R', et par A, B, ...,L les ré- 

 sidus correspondants : alors on aura la nouvelle formule de décomposi- 

 tion en éléments simples 



(2) $(..) = -Ax,„(«,.^)-Bx„,(/n--)-. -LxJl,z)+Giz.), 



où A, B, . . ., h ne sont assujettis à aucune relation, et où G(;) désigne une 

 fonction entière, vérifiant les mêmes relations que <^{z), 



G(z-^-2K) = G{z\ G(> + 2/R') = e "^ G{z]. 



n Cette fonction G^:;) est donc une fonction linéaire homogène à coeffi- 

 cients constants de ;?i fonctions particulières, vérifiant ces mêmes relations, 

 par exemple des fonctions 



VTT r ( _— ftiriTZZi 



cr['/"{z) = e'^ \ e ■* q">"("- 1) <-^"' (v = o,i,2, m - i), 



et l'on a 



) III- 1 ' 



G(» = x„g;:"'(-) + A.«';"'(='^+--'+^'"-8'' 



» Pour déterminer la partie entière G{z), il suffira de déterminer les 

 77/ coefficients constants ^o, X,, . . ., X,„_,. Voici quelles sont les valeurs de 

 ces coefficients. 



» Dans une certaine bande du plan, qui contient le côté PQ du parallé- 

 logramme des périodes, la fonction $( = ) est développable en une série 

 d'exponentielles, par la formule de Fourier 



4> 





riTZ'- 



