{ 7) 



GÉOMÉTRIE. — Exemples des procédés de déinonslrnlion annoncés dans la 

 séance précédente ; par M. Chasles. 



« XXXVIII. Dans un système de coniques (fx, v), les diamètres qui aboutis- 

 sent aux points oii une droite \j coupe les coniques, enveloppent une courbe de 

 la classe (p. + 2v), qui a la droite \j pour tangente multiple d'ordre av. 



» Plus généralement : Dans un système de coniques (p., v), coujées par une 

 droite L, les droites menées de chaque point a de L aux pôles d'une droite D rela- 

 tifs aux coniques qui passent par a, enveloppent une courbe de la classe (/7. + 2 v':, 

 quia une tangente multiple d'' ordre 2v, coïncidante avec L. 



» Prouvons que par un point I quelconque, passent (f;. H- 2 v) droites 

 joignant chacune un point a de L au pôle d'une conique passant par a. 



i> Une droite menée par I coupe L en un point x; sur cette droite Ix se 

 trouvent v pôles (C R., i. L"VIII, p. 29g, théor. I) ; les coniques auxquelles ils 

 appartiennent coupent L en 2V points u. Par un point u passent p, coniques : 

 les droites menées du point I aux pôles de ces coniques coupent L en 

 {j. points X. Donc, en vertu du lemme I, il existe sur Lfp. + 2y) points x.qni 

 coïncident, chacun, avec un point correspondant ?<. Donc la courbe enve- 

 loppe est de la classe (p. + 2v). 



)) Elle a une tangente multiple d'ordre 2v coïncidante avec D, parce que 

 D a V pôles sur L, et que les droites menées de ces pôles aux av jjoints 

 d'intersection de L et des coniques auxquelles ces pôles appartiennent sont 

 2V tangentes de la courbe. Le théorème est donc démontré. 



D Observation. Après avoir reconnu que la courbe a une tangente mul- 

 tiple d'ordre 2 v coïncidante avec L, il suffît de remarquer que par chaque 

 point a de cette tangente passent |jl autres tangentes, qui sont les droites 

 menées aux pôles de D relatifs aux v coniques qui passent parle point rt; 

 d'où l'on conclut immédiatement que la courbe est de la classe (f. + 2v"). 



» COROLLAiRiî. Si la droite L est à l'infini, il s'ensuit que : 



» Dons un système de coniques [p., v), les parallèles aux asymptotes de chaque 

 conique, menées par le pôle d'une droite D relatif à la conique, enveloppent une 

 courbe de Inclasse [p. + 2v), quia une tangente multiple d ordre 2V, à l'infini. 



» XXXVIII a. On conclut du théorème que : 



» Si d'un point I on mène des droites aux pôles des coniques d'un système 

 {[J., v), relatifs à une droite D, les points dans lesquels ces droites rencontrent les 

 coniques sont sur une courbe de l'ordre (/j. + av). 



» Par conséquent : 



