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» Les (liamctres des coniques d'un sjstènie (fjt., v), qui passent par un point 

 Jixe, ont leurs extrémités sur une courbe de l'ordre (fJi -f- 2v). 



» XXXIK. Lorsque les diamètres des coniques (/Ji, v) passent jxn- un point 

 fixe, leurs conjugués enveloppent une courbe de Inclusse {p. -\- v), qui a une tan- 

 gente multiple d'ordre v à l'infini. 



» Plus généralement : Si par les pôles p d'une droite D, relatifs aux coni- 

 ques d'un système [p., v ), on mène des couples de droites conjuguées p x, p a', dont 

 les unes, p«, passent par un point fixe P: les autres. \)C/.', enveloppent une courbe 

 de la classe {(j. ■+- v), qui a une tangente multiple d'ordre v coïncidante avec D. 



V II fant prouver que (p. + v) droites pa.' passent par un point quel- 

 conque I. 



)) Sur une droite la,, qui coupe D en a,, se trouvent v pôles p de D 

 (théor. ï) : ou mène par ces pôles les droites pa passant par P, et leurs con- 

 juguées, qui coupent D en v points «'. Ces v points a' correspondent au 

 pointa,. Un point a' étant pris arbitrairement, ses polaires dans les coniques 

 enveloppent une courbe de la classe p. (ibéor. XII); p. polaires passent donc 

 par P. Les droites menées des pôles des fi coniques au point I coupent D 

 en p. points a,. Ainsi, à une droite la, correspondent v droites la'; et à une 

 droite la' correspondent p. droites la,. Donc, en vertu du lemme II, il 

 existe (|u. -t- v) droites Ta, qui coïncident avec des droites correspon- 

 dantes la'; c'est-à-dire qu'il existe (p + v) coniques dans lesquelles les 

 droites pa passant par P ont pour conjuguées des droites passant par I. 

 Ainsi la courbe chercbée est de la classe [p. -h v). 



» Elle a une tangente multiple d'ordre v coïncidante avec D, parce que 

 V coniques sont tangentes à D, et que dans chacune d'elles la conjuguée de 

 la droite pa est la droite D. 



» Corollaire. Dans un système {p., v), il existe {[x -h v) coniques dont deux 

 diamètres conjugués passent par deux points donnés (*). 



» XL. Dans un système de coniques (p., v), les diamètres qui partent des 

 points oii les coniques coupent une droite D ont leurs extrémités sur une courbe 

 de l'ordre [p. + 2v), qui a un point multiple de l'ordre p à l'infini surD. 



» Plus généralement : Si par chaque point a d'une droite D on mène des 

 droites aux pôles d'une droite D' relatijs aux coniques qui passent par a : les 

 points oii ces droites rencontrent les coniques sont sur une courbe de l'ordre 



(*) Le théorème a été bien énonce (C. A'., p. 3o2, théor. XXIV); et la note de la p. 43i 

 est due à une erreur qui ne s'explique que par un moment de grande fatigue et d'inat- 

 tention. 



