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 {[j. + 2 v), qui Cl lin point multiple cfordre [j. au point de concours de D et D'. 



» Prouvons que la courbe cherchée a(|u,+ 2v) points sur une droite 

 quelconque L. 



» Par un point jt de L passent jul coniques, qui coupent D en 2 fx points a; 

 les droites menées de ces points aux pôles de D', daus les p. coniques, ren- 

 contrent L en 2 rj. points 11. Par un point 11 passent [p. 4- a v) droites menées 

 des points de D aux pôles de D' (théor. XXXVIII). Ces droites appartiennent 

 à (|x+2y) coniques, qui rencontrent L en 2 (f/. -+- av) points j?. Il existe 

 donc sur L, 2fx + 2 (p, -1- 2v) ^ l^[p.-\-v) points x qui coïncident avec des 

 points correspondants u. Mais 2 ( 2 p. — v) de ces points sont sur les [ip. — v) 

 coniques infiniment aplaties qui existent dans le système proposé ; et 

 2 (av — /j.) surles (2 v — p.) coniques représentées par deux droites. Il reste 

 i{p +v) points. Il faut observer encore que p coniques passent par le 

 point d'intersection de L et D, et que pour chacune d'elles ce point fait 

 partie de ces 2{p. +v); de sorte qu'il compte pour p.. Ce point multiple 

 d'ordre p. est étranger à la question, parce qu'il est toujours sur D quelle que 

 soit la droite L, Les autres points sont en nombre {p. H- av); la courbe cher- 

 chée est donc de l'ordre (/-'.+ 2v). 



» Elle a un point multiple d'ordre p. au point de rencontre de D et D', 

 parce que p. coniques passent par ce point. 



') XLI. Si d'un point 011 mène des tangentes aux coniques d^un système 

 (p, v), les diamètres qui passent par les points de contact enveloppent une 

 courbe de la classe ( 2 p + v ) . 



» Plus généralement : Si d'un point P on mène des tangentes aux coniques 

 (p., v), les droites qui vont des points de contact aux pôles d'une droite D enve- 

 loppent une courb.e de la classe ( 2p, + v). 



» Prouvons que (2p,-|- v) droites passent par un point I. 



» Une droite x étant menée par I, il y a ( p. + v) coniques dont une tan- 

 gente en vm point situé sur cette droite passe par le point P [C. R., p. 3oo, 

 théor.V); appelons «les droites menées du point I aux pôles de ces coniques, 

 de sorte qu'à la droite ce correspondent (p. + v) droites u. Une droite u 

 renferme les pôles de y coniques; du point P passent 2V tangentes de ces 

 coniques, et de I 2V droites x passant par les points de contact. Il existe 

 donc p. 4- 3 y droites x qui coïncident avec des droites correspondantes u. 

 Mais il existe (2y — p,) coniques représentées par deux droites. Une tan- 

 gente menée par P a son point de contact au point d'intersection des 

 deux droites, et les deux droites x et u coïncident; de sorte que le 



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